Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

84
),(
2
2
1
1
11
1
1
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
txF
h
uuu
A
uu
+
+−
=
−
+
−
++
+
+
τ
. (6.7)
Исследование аппроксимации показывает, что эта схема
также имеет погрешность порядка
τ
1
+ h
2
. Схема устойчива при
любом соотношении шагов
τ
, h. Это означает, что расчет можно
вести со сколь угодно большим временным шагом. Такие схемы
называют абсолютно устойчивыми.
Для получения решения необходимо на каждом временном
шаге решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей:
u
i
o
=
μ
11
(t
i
),
),()21(
1
1
11
1
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
txFuuuu
τγγγ
+=++−
+
+
++
−
, i = 1, 2,…N–1, (6.8)
u
i
M
=
μ
12
(t
i
).
Решение системы (6.8) находится с помощью метода про-
гонки, описанного в главе 2.
На рис. 6.4 приведен листинг программы на MathCAD, в
которой неявная схема (6.8) использована для решения задачи
(6.1), (6.6).
Как показывает пример, неявная схема позволяет получить
близкое к точному решение при достаточно большом значении
шага по времени
τ
= 0.067.
Для случаев второй и третьей краевой задачи изменятся
первое и последнее уравнения (6.8), из которых определяются
значения первых прогоночных коэффициентов и решения в по-
следнем узле сетки.
Схемы (6.4) и (6.7) являются представителями семейства
двухслойных схем
),(
2
)1(
2
2
11
2
1
1
11
1
1
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
txF
h
uuu
A
h
uuu
A
uu
+
+−
−+
+−
=
−
−+
+
−
++
+
+
σσ
τ
,(6.9)
где 1 ≥
σ
≥ 0 – параметр, который можно выбирать для того,
чтобы добиться улучшения тех или других свойств схемы. При
σ
= 0 схема (6.9) переходит в явную схему (6.4), а при
σ
= 1 – в
чисто неявную схему (6.6). 
                 u ij+1 − u ij          u ij++11 − 2u ij+1 + u ij+−11
                                 =A                        + F (x j ,ti ) .            (6.7)
                       τ                     h2
     Исследование аппроксимации показывает, что эта схема
также имеет погрешность порядка τ1 + h2. Схема устойчива при
любом соотношении шагов τ, h. Это означает, что расчет можно
вести со сколь угодно большим временным шагом. Такие схемы
называют абсолютно устойчивыми.
     Для получения решения необходимо на каждом временном
шаге решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей:
     uio = μ11(ti),
    γu ij+−11 − (1 + 2γ )u ij+1 + γu ij++11 = u ij + τF ( x j , t i ) , i = 1, 2,…N–1, (6.8)
     uiM = μ12(ti).
     Решение системы (6.8) находится с помощью метода про-
гонки, описанного в главе 2.
     На рис. 6.4 приведен листинг программы на MathCAD, в
которой неявная схема (6.8) использована для решения задачи
(6.1), (6.6).
     Как показывает пример, неявная схема позволяет получить
близкое к точному решение при достаточно большом значении
шага по времени τ = 0.067.
     Для случаев второй и третьей краевой задачи изменятся
первое и последнее уравнения (6.8), из которых определяются
значения первых прогоночных коэффициентов и решения в по-
следнем узле сетки.
     Схемы (6.4) и (6.7) являются представителями семейства
двухслойных схем
u ij+1 − u ij          u ij++11 − 2u ij+1 + u ij+−11                 u ij +1 − 2u ij + u ij −1
                = Aσ                                   + A(1 − σ )                               + F ( x j , t i ) ,(6.9)
     τ                             h2                                          h2
где 1 ≥ σ ≥ 0 – параметр, который можно выбирать для того,
чтобы добиться улучшения тех или других свойств схемы. При
σ = 0 схема (6.9) переходит в явную схему (6.4), а при σ = 1 – в
чисто неявную схему (6.6).



                                                           84

Страницы