Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

86
t = t
i
x = x
j
t = t
i+1
x = x
j
+1
x = x
j
-1
a
t = t
i
x = x
j
t = t
i+1
x = x
j
+1
x = x
j
-1
б
t = t
i
x = x
j
t = t
i+1
x = x
j
+1
x = x
j
-1
в
При всех других значени-
ях
σ
в каждом разностном
уравнении будут использова-
ны значения неизвестной
функции в шести разных точ-
ках, в отличие от схем (6.4),
(6.8), в которых завязано по
четыре различные точки. Гра-
фическое представление точек
расчетной области, входящих
в каждое разностное уравне-
ние, называется шаблоном ко-
нечно-разностной схемы.
Шаблоны схем при
σ
≠ 0
представлены на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Шаблоны схем:
а (6.4); б (6.8); в (6.9)
Как было указано выше, за счет выбора параметра
σ
можно
добиться, чтобы схема имела более высокий порядок аппрокси-
мации. В частности, легко показать, что при
σ
= 0.5 схема будет
иметь порядок аппроксимации
τ
2
+ h
2
. Кроме того, за счет спе-
циального выбора весового параметра
τ
σ
A
h
122
1
2
−=
можно до-
биться, чтобы схема имела порядок аппроксимации
τ
2
+ h
4
.
Нахождение решения разностных схем типа (6.9) при
σ
≠ 0
аналогично случаю чисто неявной схемы. Система трехточеч-
ных уравнений, связывающих решение в точках верхнего
(i + 1)-го слоя, имеет вид:
),(
2
)1()21(
2
11
1
1
11
1
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
txF
h
uuu
uuuu
τστγσσγσγ
+
+−
−+=++−
−+
+
+
++
−
,
i = 0, 1,...,M–1; j = 1, 2,…,N–1.
Оно отличается от уравнения (6.8) только правой частью и, сле-
довательно, также решается методом прогонки. 
     При всех других значени- a                           t = ti+1
ях σ в каждом разностном                                  t = ti
уравнении будут использова-         x = xj-1 x = xj x = xj+1
ны значения неизвестной
функции в шести разных точ- б                             t = ti+1
ках, в отличие от схем (6.4),                             t = ti
(6.8), в которых завязано по          x = xj-1 x = xj x = xj+1
четыре различные точки. Гра-
фическое представление точек в                           t = ti+1
расчетной области, входящих                              t = ti
в каждое разностное уравне-          x = xj-1 x = xj x = xj+1
ние, называется шаблоном ко-
нечно-разностной       схемы.
Шаблоны схем при σ ≠ 0              Рис. 6.5. Шаблоны схем:
представлены на рис. 6.5.             а (6.4); б (6.8); в (6.9)
     Как было указано выше, за счет выбора параметра σ можно
добиться, чтобы схема имела более высокий порядок аппрокси-
мации. В частности, легко показать, что при σ = 0.5 схема будет
иметь порядок аппроксимации τ2 + h2. Кроме того, за счет спе-
                                              2
циального выбора весового параметра σ = 1 − h                                                  можно до-
                                                                           2 12 Aτ
биться, чтобы схема имела порядок аппроксимации τ2 + h4.
     Нахождение решения разностных схем типа (6.9) при σ ≠ 0
аналогично случаю чисто неявной схемы. Система трехточеч-
ных уравнений, связывающих решение в точках верхнего
(i + 1)-го слоя, имеет вид:
                                                                 u ij +1 − 2u ij + u ij −1
σγu ij+−11 − (1 + 2σγ )u ij+1 + γσu ij++11 = u ij + τ (1 − σ )                               + τF ( x j , t i ) ,
                                                                           h2
i = 0, 1,...,M–1; j = 1, 2,…,N–1.
Оно отличается от уравнения (6.8) только правой частью и, сле-
довательно, также решается методом прогонки.



                                                  86

Страницы