Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

87
Конечно-разностные схемы для двухмерной задачи
Пусть G = [0,L
x
]×[0,L
y
] – прямоугольная область на плоско-
сти (x, y), ∂G – граница области G, u(x,y,t) – функция, опреде-
ленная в области G×[0,T]. Рассмотрим задачу нахождения реше-
ния u(x,y,t), удовлетворяющего уравнению
),,,(
2
2
2
2
tyxF
y
u
x
u
A
t
u
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
(6.10)
дополненного начальными данными
u(x,y,0) = u
0
(x,y)
и краевыми условиями первого рода:
u(x,y,t)⏐
∂G
=
μ
(t).
Введем в области G×[0,T] конечно-разностную сетку с ша-
гами h
x
= L
x
/N
x
,
h
y
= L
y
/N
y
и
τ
=
Τ/Μ
: t
n
= n
⋅τ
, x
i
= ih
x
,
y
j
= j h
y
. Построим семейство двухслойных конечно-разностных
схем:
).,,(
22
)1(
22
2
11
2
11
2
1
1
11
1
2
1
1
11
1
1
n
ji
y
n
ij
n
ij
n
ij
x
n
ji
n
ij
n
ji
y
n
ij
n
ij
n
ij
x
n
ji
n
ij
n
ji
n
ij
n
ij
tyxF
h
uuu
h
uuu
A
h
uuu
h
uuu
A
uu
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
+−
−+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
+−
=
−
−+−+
+
−
++
+
+
−
++
+
+
σ
σ
τ
Можно видеть, что шаб-
лон схемы, представлен-
ный на рис. 6.6, включает
пять точек на неизвест-
ном, (n+1)-м временном
слое и девять точек на из-
вестном n-м слое. При
σ
= 0 схема является яв-
ной, и ее решение можно
найти по формулам:
Рис. 6.6. Шаблон схемы для двух-
мерного уравнения теплопроводности
.1,...,2,1,0,,...,2,1,,...,2,1
),,,(
22
2
11
2
11
1
−===
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
+−
+=
−+−+
+
MnNyjNxi
tyxF
h
uuu
h
uuu
Auu
n
ji
y
n
ij
n
ij
n
ij
x
n
ji
n
ij
n
ji
n
ij
n
ij
τ
(6.11) 
Конечно-разностные схемы для двухмерной задачи
        Пусть G = [0,Lx]×[0,Ly] – прямоугольная область на плоско-
сти (x, y), ∂G – граница области G, u(x,y,t) – функция, опреде-
ленная в области G×[0,T]. Рассмотрим задачу нахождения реше-
ния u(x,y,t), удовлетворяющего уравнению
                          ∂u       ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞
                               = A⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + F ( x, y , t ),                      (6.10)
                           ∂t      ⎝ ∂x        ∂y ⎠
дополненного начальными данными
                                      u(x,y,0) = u0(x,y)
и краевыми условиями первого рода:
                                      u(x,y,t)⏐∂G =μ(t).
        Введем в области G×[0,T] конечно-разностную сетку с ша-
гами hx = Lx/Nx, hy = Ly/Ny и τ = Τ/Μ: tn = n⋅τ, xi = ihx,
yj = j hy. Построим семейство двухслойных конечно-разностных
схем:
 uijn+1 − uijn      ⎛ uin++11j − 2uijn+1 + uin−+11j uijn++11 − 2uijn+1 + uijn−+11 ⎞
               = Aσ ⎜                              +                              ⎟+
       τ            ⎜             h 2
                                                                h 2               ⎟
                    ⎝              x                              y               ⎠
               ⎛ uin+1 j − 2uijn + uin−1 j uijn+1 − 2uijn + uijn−1 ⎞
+ A(1 − σ )⎜                                +                        ⎟ + F ( xi , y j , t n ).
               ⎜             h 2
                                                       h 2           ⎟
               ⎝               x                         y           ⎠
 Можно видеть, что шаб-
 лон схемы, представлен-
 ный на рис. 6.6, включает
 пять точек на неизвест-
 ном, (n+1)-м временном
 слое и девять точек на из-
 вестном n-м слое. При
 σ = 0 схема является яв-
 ной, и ее решение можно                         Рис. 6.6. Шаблон схемы для двух-
 найти по формулам:                            мерного уравнения теплопроводности
                    ⎛ uin+1 j − 2uijn + uin−1 j uijn+1 − 2uijn + uijn−1 ⎞
uijn+1 = uijn + τA⎜                            +                        ⎟ + F ( xi , y j , t n ),
                    ⎜            h 2
                                                           h 2          ⎟                         (6.11)
                    ⎝              x                         y          ⎠
i = 1, 2,..., Nx, j = 1, 2,..., Ny, n = 0,1, 2,..., M −1.

                                                 87

Страницы