Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 87 стр.

    Сначала из первого разностного уравнения с помощью про-
гонки по направлению x надо найти решение на промежуточном
n+1/2 временном слое. Затем из второго уравнения также с по-
мощью прогонки определяется решение на n+1 временном слое.
       6.3. Приближенные методы решения уравнений
                  гиперболического типа
Постановка задачи
     Типичным представителем уравнений гиперболического
типа является так называемое волновое уравнение, описываю-
щее распространение различных волн:
     utt = g 2 (x, t )u xx + f (x, t ).             (6.12)
Пусть требуется решить уравнение в области G:
x ∈ (0,1), t ∈ (0, T ) .
Дополним уравнение начальными данными
         u ( x,0) = σ 1 ( x), ut ( x,0) = σ 2 ( x)   (6.13)
и краевыми условиями
      p0u (0, t ) + p1 u x (0, t ) = A(t ),
                                                      (6.14)
     s0 u (1, t ) + s1 u x (1, t ) = B (t ).
Явная конечно-разностная схема
       Для приближенного решения применим конечно-раз-
ностный метод. Для этого введем в области G разностную сетку,
в качестве которой используем совокупность точек пересечения
прямых x = ih, t = jτ, i = 0, 1, ... , N, j = 0, 1, ... , M, где h и
τ – шаги сетки по пространственной и временной координатам.
Если положить, что шаги h и τ связаны соотношением τ = rh,
r = const, то сетка будет зависеть только от одного параметра h.
       Через uij обозначим значение сеточной функции в точке
(xi, t j). Аппроксимируем входящие в (6.12)–(6.14) производ-
ные конечно-разностными соотношениями второго порядка
точности:




                                89