Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 89 стр.

вой краевой задачи (p1 = 0, s1 = 0) значения функции в гранич-
ных точках задаются точно: u 0j = A(t j ), u Nj = B (t j ). Если p1 ≠ 0,
s1 ≠ 0 (вторая или третья краевые задачи), производные в соот-
ношениях (6.14) необходимо заменить конечно-разностными
соотношениями. Используем формулы первого порядка аппрок-
симации:
              j        u1j − u 0j      j           j         u Nj − u Nj − 1
       p 0 u 0 + p1               = A , s 0 u N + s1                         = Bj,
                            h                                      h
откуда
                 p u j − A jh            B j h + s1u Nj −1
       u0j = 1 1              , u Nj =                     , j = 2, 3,..., M . (6.17)
                  p1 − p0 h                 hs0 + s1
      Можно показать, что схема (6.16) имеет второй порядок ап-
проксимации относительно h. Однако соотношения (6.17) имеют
лишь первый порядок аппроксимации, что, несомненно, снижа-
ет общую точность полученного приближенного решения. Что-
бы общий порядок аппроксимации задачи не понижался, для
аппроксимации производных в граничных условиях (6.14) необ-
ходимо использовать соотношения второго порядка аппрокси-
мации (см. п. 4.1):
                − 3u0j + 4u1j − u2j                         3u j − 4u Nj −1 + u Nj − 2
 p0u0j + p1                         = A j , s0u Nj + s1 N                              = B j,
                        2h                                            2h
откуда легко получить выражения для u0j , u Nj , имеющие второй
порядок аппроксимации.
Исследование устойчивости разностной схемы
    Чтобы решение задачи (6.16) сходилось к решению исход-
ной задачи, требуется, чтобы эта схема была устойчивой. Опи-
шем один из методов исследования устойчивости. Рассмотрим
задачу Коши:
     ∂ 2u     2 ∂ u
                 2
          − g          = 0, − ∞ < x < ∞, 0 < t < T , g = const ,
     ∂t 2       ∂x 2                                             (6.18)
                           ∂u( x,0)
     u( x,0) = ψ 1 ( x ),           = ψ 2 ( x ), − ∞ < x < ∞,
                             ∂t
которую аппроксимируем разностной схемой
                                            91