Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

93
Данное неравенство выполняется при всех
α
, если 1≤gr .
Следовательно, условием устойчивости схемы (6.19) будет
g
h
≤
τ
.
(6.24)
Пусть теперь g = g(x,t)
≠
const. В этом случае применяется
принцип «замороженных коэффициентов», в соответствии с ко-
торым необходимое условие устойчивости Неймана можно за-
писать в виде
),(max,
,
*
*
txgg
g
h
tx
=≤
τ
.
(6.25)
Вопрос влияния граничных условий на устойчивость разно-
стной схемы здесь не рассматривается.
Неявная разностная схема
При построении схемы (6.15) производная u
xx
была замене-
на на конечную разность на временном слое t
j
= j
τ
. Если же ис-
пользовать значения с временного слоя t
j+1
, то получим схему
12
2
1
1
11
1
2
1
2
11
22
+
+
−
++
+
+
−+
+
+−
=
+−
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
f
h
uuu
g
uuu
τ
τ
, (6.26)
которой соответствует шаблон, изображенный на рис. 6.8.
Из уравнения (6.26) невоз-
можно явно выразить
1+j
i
u че-
рез значения функции u с
предыдущих слоев по време-
ни (j и j–1), поскольку в (6.23)
наряду с
1+j
i
u
входят неиз-
вестные
1
1
+
+
j
i
u и
1
1
+
−
j
i
u . Поэтому
данная схема называется не-
явной.
Рис. 6.8. Шаблон неявной схемы
для волнового уравнения
Анализ устойчивости показывает, что неявная схема безус-
ловно устойчива, т.е. обеспечивает сходимость разностной зада-
чи к решению соответствующей дифференциальной при любом
отношении
τ
/h. Решение на первых двух временных слоях опре-
     Данное неравенство выполняется при всех α, если gr ≤ 1 .
Следовательно, условием устойчивости схемы (6.19) будет
                                           h
                                  τ≤ .                                                      (6.24)
                                           g
     Пусть теперь g = g(x,t) ≠ const. В этом случае применяется
принцип «замороженных коэффициентов», в соответствии с ко-
торым необходимое условие устойчивости Неймана можно за-
писать в виде
                                  h
                           τ ≤ , g* = max g ( x, t ) .                                      (6.25)
                                  g*                  x ,t


     Вопрос влияния граничных условий на устойчивость разно-
стной схемы здесь не рассматривается.
Неявная разностная схема
     При построении схемы (6.15) производная uxx была замене-
на на конечную разность на временном слое tj = jτ. Если же ис-
пользовать значения с временного слоя tj+1, то получим схему
           uij +1 − 2uij + uij −1        j +12 ui +1 − 2ui
                                                 j +1        j +1
                                                                  + uij−+11
                                  =  g                                      + τ 2 fi j +1 , (6.26)
                    τ 2                i
                                                           h 2

которой соответствует шаблон, изображенный на рис. 6.8.
Из уравнения (6.26) невоз-
можно явно выразить uij +1 че-
рез значения функции u с
предыдущих слоев по време-
ни (j и j–1), поскольку в (6.23)
наряду с uij +1 входят неиз-
вестные uij++11 и uij−+11 . Поэтому Рис. 6.8. Шаблон неявной схемы
данная схема называется не-            для волнового уравнения
явной.
    Анализ устойчивости показывает, что неявная схема безус-
ловно устойчива, т.е. обеспечивает сходимость разностной зада-
чи к решению соответствующей дифференциальной при любом
отношении τ/h. Решение на первых двух временных слоях опре-


                                               93

Страницы