Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 92 стр.

деляется из начальных данных, как это сделано для явной схе-
                                  2
мы. Обозначив γ = gij +1 r 2 , перепишем (6.26) в виде
γuij++11 − (1 + 2γ )uij +1 + γuij−+11 = −2uij + uij −1 + τ 2 f i j +1 , i = 1, 2,..., N − 1. (6.27)
        Дополнив (6.26) формулами, аппроксимирующими краевые
условия, получим СЛАУ с трехдиагональной матрицей, которая
решается с помощью метода прогонки (см. п. 2.2).

  6.4. Приближенные методы решения уравнения Пуассона
      Рассмотрим решение эллиптического уравнения на примере
уравнения Пуассона:
                         ∂ 2u ∂ 2u
                     Δu ≡ 2 + 2 = F ( x, y ) ,              (6.28)
                         ∂x    ∂y
описывающего, например, распределение электростатического
поля или стационарное распределение температуры. Пусть тре-
буется определить решение в некоторой области G на плоскости
(x,y). Корректная постановка задачи требует задания граничных
условий на границе этой области ∂G .
      Сравнивая уравнение Пуассона (6.28) и уравнение (6.10),
можно понять, что уравнение Пуассона является стационарным,
т.е. не зависящим от времени вариантом уравнения теплопро-
водности. Поэтому для решения уравнения Пуассона часто при-
меняют так называемый метод установления. Для этого в пра-
                                                   ∂u
вую часть уравнения (6.28) добавляют слагаемое        , затем ре-
                                                   ∂t
шают полученное уравнение теплопроводности с помощью опи-
санных в п. 6.2 методов до тех пор, пока решение не выйдет на
стационар, т.е. не перестанет изменяться в зависимости от време-
ни. Время в этой задаче является фиктивным, и в разностных
схемах надо использовать максимально возможный шаг. Процесс
установления решения может занять продолжительное время,
особенно если используются явные схемы, имеющие жесткое ог-
раничение на временной шаг. В этом случае применение схем
дробных шагов помогает существенно сократить время решения.

                                               94