Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 90 стр.

       umj +1 − 2umj + umj −1          umj +1 − 2umj − umj −1
                                − g2                          = 0,
                τ   2
                                                 h2
       j = 1, 2, ... , M −1                                             (6.19)
                          u1m − um0
      um0 = ψ 1 ( xm ),                 = ψ 2 ( xm ), m = 0, ± 1, ...
                                τ
     Для устойчивости разностной схемы относительно возму-
щения начальных данных необходимо, чтобы решение задачи
(6.19) удовлетворяло условию
     max u mj ≤ C ⋅ max u m0 , j = 0, 1, ... , M ,   (6.20)
       m                  m

при произвольной ограниченной функции ψ 1 ( xm ) , в частности,
для ψ 1 = e iαm , где α – вещественный параметр. Тогда решение
задачи (6.18) можно искать в виде
                             umj = λ j eiαm ,               (6.21)
где λ = λ (α ) . Условие (6.21) выполняется, если числа λ (α ) ле-
жат внутри круга единичного радиуса, т.е.
                             λ (α ) ≤ 1 .                   (6.22)
     Неравенство (6.22) выражает необходимое условие устой-
чивости Неймана. Подставив (6.21) в (6.19), для определения
λ (α ) получим уравнение
                                             α
                λ2 − 2(1 − 2r 2 g 2 sin 2
                                        )λ + 1 = 0 .             (6.23)
                                      2
    По теореме Виета произведение корней этого уравнения
равно 1, т.е. для выполнения условия (6.22) требуется, чтобы
корни λ1, 2 уравнения (6.23) были комплексно сопряженными и
лежали на единичной окружности. Для этого, в свою очередь,
необходимо, чтобы дискриминант D(α ) уравнения (6.23) был
отрицателен:
                                      α⎛              α ⎞
                D(α ) ≡ 4r 2 g 2 sin 2 ⎜ r 2 g 2 sin 2 − 1⎟ < 0.
                                      2⎝              2 ⎠


                                            92