Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

90
.
2),(),(2),(
),(
,
2),(),(2),(
),(
2
11
2
11
2
2
2
11
2
11
2
2
h
uuu
h
txutxutxu
tx
x
u
uuutxutxutxu
tx
t
u
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
−+−+
−+
++
+−
=
+−
≈
∂
∂
+−
=
+−
≈
∂
∂
ττ
Подставив эти выражения в (6.12), получим явную разност-
ную схему:
.
2
)(
2
2
11
2
2
11
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
f
h
uuu
g
uuu
+
+−
=
+−
−+
−+
τ
(6.15)
Схеме (6.15) отвечает шаб-
лон типа «крест», изображенный
на рис. 6.7. Он иллюстрирует тот
факт, что для вычисления значе-
ния искомой функции на вре-
менном слое j+1 необходимо
знать значения этой функции на
двух предыдущих слоях j и j–1.
Следовательно, чтобы начать
расчет, необходимо знать значе-
ния сеточной функции на первых
Рис. 6.7. Шаблон явной схемы
для волнового уравнения
двух временных слоях. Решение на временном слое t = t
0
опре-
делено начальными данными (6.13): ).(
1
0
ii
xu
σ
= Чтобы вычис-
лить решение при t = t
1
, воспользуемся формулой Тейлора, а
также начальными данными (6.13) и уравнением (6.12):
.),(
)(
),(
2
)()(
...),(
6
),(
2
),(),(),(
30
2
1
2
02
2
21
0
3
0
2
001
τ
στ
τσσ
ττ
τ
Cxtf
dx
xd
xtgxx
xtuxtuxtuxtuxtu
tttttt
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
=++++=
Для нахождения значений сеточной функции u
i
j
во внут-
ренних точках x
i
= ih, i = 1,…, N–1 на временных слоях t
j
,
j = 2, 3,…, M, используем разностную схему (6.15):
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
fuuugruuu
2
11
2211
)2(2
τ
++−+−=
−+
−+
, i = 1, 2,…, N–1. (6.16)
Для определения искомой сеточной функции на линиях
x = x
0
, x = x
N
воспользуемся краевыми условиями. В случае пер-
(
i, j+1)
(
i–1, j)
(
i+1,j)
(
i,j–1)
                                                                                j +1                 j −1
                       u ( xi , t j +1 ) − 2u ( xi , t j ) + u ( xi , t j +1 ) ui − 2ui + ui
                                                                                            j
 ∂ 2u            j
        ( xi , t   ) ≈                                                          =                          ,
 ∂t 2                                             τ2                                          τ2
 ∂ 2u            j     u ( xi +1 , t j ) − 2u ( xi , t j ) + u ( xi −1 , t j ) uij+1 − 2uij + uij−1
        ( xi , t   ) ≈                                                         =                         .
 ∂x 2                                             h2                                         h2
        Подставив эти выражения в (6.12), получим явную разност-
ную схему:
            uij +1 − 2uij + uij −1                      j         j
                                                 j 2 ui +1 − 2ui + ui −1
                                                                           j

                         2
                                         = ( g i  )             2
                                                                               + fi j .                (6.15)
                       τ                                      h
        Схеме (6.15) отвечает шаб-                                           (i, j+1)
лон типа «крест», изображенный
                                                                        (i–1, j)
на рис. 6.7. Он иллюстрирует тот
факт, что для вычисления значе-
                                                                                                 (i+1,j)
ния искомой функции на вре-
менном слое j+1 необходимо
знать значения этой функции на                                                    (i,j–1)
двух предыдущих слоях j и j–1.
Следовательно, чтобы начать                                       Рис. 6.7. Шаблон явной схемы
расчет, необходимо знать значе-                                       для волнового уравнения
ния сеточной функции на первых
двух временных слоях. Решение на временном слое t = t0 опре-
делено начальными данными (6.13): u i0 = σ 1 ( xi ). Чтобы вычис-
лить решение при t = t1, воспользуемся формулой Тейлора, а
также начальными данными (6.13) и уравнением (6.12):
                                                           τ2                      τ3
         u (t1 , x) = u (t 0 , x) + τut (t 0 , x) + utt (t 0 , x) + uttt (t 0 , x) + ... =
                                                           2                        6
                                         τ2 ⎛ 2 0           d 2σ1 ( x)                     ⎞
         = σ1 ( x) + τσ 2 ( x) + ⎜⎜ g (t , x)                       2
                                                                            + f (t 0 , x) ⎟⎟ + Cτ 3 .
                                         2⎝                    dx                          ⎠
        Для нахождения значений сеточной функции uij во внут-
ренних точках xi = ih, i = 1,…, N–1 на временных слоях tj,
j = 2, 3,…, M, используем разностную схему (6.15):
 uij +1 = 2uij − uij −1 + r 2 g 2 (uij+1 − 2uij + uij−1 ) + τ 2 fi j , i = 1, 2,…, N–1. (6.16)
        Для определения искомой сеточной функции на линиях
x = x0, x = xN воспользуемся краевыми условиями. В случае пер-

                                                    90

Страницы