Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 86 стр.

Явная схема имеет порядок аппроксимации τ + hx2 + hy2. Однако,
как и в случае одной пространственной переменной, схема явля-
ется условно устойчивой. Чтобы получить устойчивое приближен-
ное решение, шаги разностной сетки должны удовлетворять усло-
                ⎛τ    τ ⎞ 1
вию Куранта: A⎜ 2 + 2 ⎟ ≤ . Свойством безусловной устойчи-
                ⎜ hx hy ⎟ 2
                ⎝        ⎠
                                  1 h2
вости схема будет обладать при σ >  −    , h = max(hx , h y ) .
                                  2 4 τA
     При σ ≠ 0 шаблон схемы (6.11) будет включать пять точек
на верхнем временном слое. Для нахождения решения необхо-
димо для каждого tn решать СЛАУ с заполненной матрицей, для
которых экономичный метод прогонки не применим. В этом
случае используются так называемые методы дробных шагов
[5, 6], в которых процесс нахождения решения на новом n+1 вре-
менном слое разбивается на несколько промежуточных (дроб-
ных) шагов таким образом, чтобы на каждом шаге по одному из
пространственных направлений схема была явной, а по другому –
неявной. Неявность схемы по выбранному направлению делает ее
безусловно устойчивой. В то же время для нахождения решения
на новом временном слое не требуется решать СЛАУ с заполнен-
ной матрицей, а можно найти решение с помощью нескольких
прогонок. Эта методика широко используется при решении мно-
гомерных уравнений теплопроводности. Существует много раз-
личных схем в дробных шагах. Приведем одну из возможных
схем для двухмерного уравнения теплопроводности:
  n+
       1
                 ⎛ n+ 1          n+
                                     1
                                         n+
                                            1
                                                                      ⎞
uij    2   − uijn⎜ ui+12j − 2uij 2 + ui−12j uijn+1 − 2uijn + uijn−1 ⎟
              = A⎜                             +                      ⎟ + F ( xi , y j , t n ),
    τ /2         ⎜⎜             hx
                                  2
                                                          h 2
                                                            y         ⎟⎟
                  ⎝                                                    ⎠
          n+
             1
                    ⎛ n+   1
                                    n+
                                       1
                                           n+
                                              1
                                                                              ⎞
uijn+1 − uij 2      ⎜ ui +12j − 2uij 2 + ui−12j uijn++11 − 2uijn+1 + uijn−+11 ⎟                    n+
                                                                                                      1
               =A   ⎜                            +                            ⎟  + F ( xi , y j , t 2 ).
     τ /2           ⎜⎜            hx2                         hy2             ⎟⎟
                     ⎝                                                         ⎠


                                                 88