Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 77 стр.

UptoLike

79
x = L
t
x
0
t = T
u
j
i
x = x
j
t = t
i
x
j
= jh, h
=
L
/Ν.
Вместо точ-
ного решения
u(x,t) будем
искать приближенное ре-
шение, заданное в узлах
сетки
u
i
j
= u(x
j
, t
i
). Область
решения и построенная сет-
ка представлены на рис. 6.1.
На линиях
t = 0, x = 0 и
x = L решение определено
Рис. 6.1. Расчетная область и сетка
начальными данными и краевыми условиями, во всех остальных
узлах сетки решение должно быть найдено из разностных ана-
логов уравнения (6.1). Приблизим (аппроксимируем) исходную
дифференциальную задачу конечно-разностной. Для этого за-
меним все входящие в уравнение (6.1) и краевые условия (6.3),
(6.3′′) производные их конечно-разностными аналогами:
.),(,),(
,
2),(),(2),(
),(
,
),(),(
),(
1
01
0
2
11
2
11
2
2
1
1
h
uu
tx
x
u
h
uu
tx
x
u
h
uuu
h
txutxutxu
tx
x
u
uutxutxu
tx
t
u
i
M
i
M
i
M
ii
i
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
++
+
+
=
=
+
=
+
=
ττ
Подставляя выражения для производных в уравнение, получим
разностную схему:
),(
2
2
11
1
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
txF
h
uuu
A
uu
+
+
=
+
+
τ
. (6.4)
На первом временном слое решение известно:
u
0
j
= u(x
j
, t
0
) = u(x
j
,0) = u
0
(x
j
). Во всех внутренних точках расчет-
ной области оно находится из явных формул, которые легко по-
лучаются из схемы (6.4):
.1,...,1,0,1,...,2,1
),,(
2
2
11
1
==
+
+
+=
+
+
MjNi
txF
h
uuu
Auu
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
τ
xj = jh, h = L/Ν. Вместо точ-                                  t               x = xj           uji
ного решения u(x,t) будем                                  t = T
искать приближенное ре-
шение, заданное в узлах                                                                                    t = ti
сетки uij = u(xj, ti). Область
решения и построенная сет-
                                                                                                                  x
ка представлены на рис. 6.1. 0                                                                           x=L
На линиях t = 0, x = 0 и
                                                             Рис. 6.1. Расчетная область и сетка
x = L решение определено
начальными данными и краевыми условиями, во всех остальных
узлах сетки решение должно быть найдено из разностных ана-
логов уравнения (6.1). Приблизим (аппроксимируем) исходную
дифференциальную задачу конечно-разностной. Для этого за-
меним все входящие в уравнение (6.1) и краевые условия (6.3′),
(6.3′′) производные их конечно-разностными аналогами:
                                                                   i +1
                      u ( x j , t i +1 ) − u ( x j , t i ) u j − u j
                                                                             i
 ∂u
     (x j ,ti ) ≈                                            =                   ,
 ∂t                                     τ                              τ
                                                                                             i           i          i
 ∂ 2u            i      u ( x j +1 , t i ) − 2u ( x j , t i ) + u ( x j −1 , t i ) u j +1 − 2u j + u j −1
       ( x j , t   ) ≈                                                               =                                ,
 ∂x 2                                               h2                                              h2
                          i         i                                    i            i
 ∂u                   u − u0                ∂u                    u − u M −1
     ( x0 , t i ) = 1                 ,          ( xM , t i ) = M                       .
 ∂x                         h               ∂x                             h
Подставляя выражения для производных в уравнение, получим
разностную схему:
               u ij+1 − u ij             u ij +1 − 2u ij + u ij −1
                                =A                                      + F (x j ,ti ) .                          (6.4)
                     τ                               h2
          На первом временном слое решение известно:
u0j = u(xj, t0) = u(xj,0) = u0(xj). Во всех внутренних точках расчет-
ной области оно находится из явных формул, которые легко по-
лучаются из схемы (6.4):
                                                         i            i            i
                       i +1           i          u j +1 − 2u j + u j −1
                    u j = u j + τA                                  2
                                                                                        + F ( x j , t i ),
                                                                 h
                       i = 1, 2,..., N − 1, j = 0, 1,..., M − 1.


                                                         79