Составители:
79
x = L
t
x
0
t = T
u
j
i
x = x
j
t = t
i
x
j
= jh, h
=
L
/Ν.
Вместо точ-
ного решения
u(x,t) будем
искать приближенное ре-
шение, заданное в узлах
сетки
u
i
j
= u(x
j
, t
i
). Область
решения и построенная сет-
ка представлены на рис. 6.1.
На линиях
t = 0, x = 0 и
x = L решение определено
Рис. 6.1. Расчетная область и сетка
начальными данными и краевыми условиями, во всех остальных
узлах сетки решение должно быть найдено из разностных ана-
логов уравнения (6.1). Приблизим (аппроксимируем) исходную
дифференциальную задачу конечно-разностной. Для этого за-
меним все входящие в уравнение (6.1) и краевые условия (6.3′),
(6.3′′) производные их конечно-разностными аналогами:
.),(,),(
,
2),(),(2),(
),(
,
),(),(
),(
1
01
0
2
11
2
11
2
2
1
1
h
uu
tx
x
u
h
uu
tx
x
u
h
uuu
h
txutxutxu
tx
x
u
uutxutxu
tx
t
u
i
M
i
M
i
M
ii
i
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
−
−+−+
+
+
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
+−
=
+−
≈
∂
∂
−
=
−
≈
∂
∂
ττ
Подставляя выражения для производных в уравнение, получим
разностную схему:
),(
2
2
11
1
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
txF
h
uuu
A
uu
+
+−
=
−
−+
+
τ
. (6.4)
На первом временном слое решение известно:
u
0
j
= u(x
j
, t
0
) = u(x
j
,0) = u
0
(x
j
). Во всех внутренних точках расчет-
ной области оно находится из явных формул, которые легко по-
лучаются из схемы (6.4):
.1,...,1,0,1,...,2,1
),,(
2
2
11
1
−=−=
+
+−
+=
−+
+
MjNi
txF
h
uuu
Auu
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
τ
xj = jh, h = L/Ν. Вместо точ- t x = xj uji
ного решения u(x,t) будем t = T
искать приближенное ре-
шение, заданное в узлах t = ti
сетки uij = u(xj, ti). Область
решения и построенная сет-
x
ка представлены на рис. 6.1. 0 x=L
На линиях t = 0, x = 0 и
Рис. 6.1. Расчетная область и сетка
x = L решение определено
начальными данными и краевыми условиями, во всех остальных
узлах сетки решение должно быть найдено из разностных ана-
логов уравнения (6.1). Приблизим (аппроксимируем) исходную
дифференциальную задачу конечно-разностной. Для этого за-
меним все входящие в уравнение (6.1) и краевые условия (6.3′),
(6.3′′) производные их конечно-разностными аналогами:
i +1
u ( x j , t i +1 ) − u ( x j , t i ) u j − u j
i
∂u
(x j ,ti ) ≈ = ,
∂t τ τ
i i i
∂ 2u i u ( x j +1 , t i ) − 2u ( x j , t i ) + u ( x j −1 , t i ) u j +1 − 2u j + u j −1
( x j , t ) ≈ = ,
∂x 2 h2 h2
i i i i
∂u u − u0 ∂u u − u M −1
( x0 , t i ) = 1 , ( xM , t i ) = M .
∂x h ∂x h
Подставляя выражения для производных в уравнение, получим
разностную схему:
u ij+1 − u ij u ij +1 − 2u ij + u ij −1
=A + F (x j ,ti ) . (6.4)
τ h2
На первом временном слое решение известно:
u0j = u(xj, t0) = u(xj,0) = u0(xj). Во всех внутренних точках расчет-
ной области оно находится из явных формул, которые легко по-
лучаются из схемы (6.4):
i i i
i +1 i u j +1 − 2u j + u j −1
u j = u j + τA 2
+ F ( x j , t i ),
h
i = 1, 2,..., N − 1, j = 0, 1,..., M − 1.
79
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
