Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 74 стр.

(начальных и граничных) условий, при которой решение задачи
в целом существует, единственно и непрерывно зависит от этих
данных и коэффициентов уравнения. Требование непрерывной
зависимости необходимо, чтобы небольшие изменения коэффи-
циентов уравнения, начальных данных и краевых условий не
приводили к сильным изменениям решения задачи. В механике
и физике существуют задачи, решение которых неустойчиво.
Изучением таких некорректных задач занимается специальный
раздел математики. Здесь мы будем рассматривать только зада-
чи с корректной постановкой, при решении которых не возника-
ет неустойчивости, связанной с исходными уравнениями.
     Большое количество физических задач приводит к решению
уравнений второго порядка, которые достаточно хорошо изуче-
ны в теоретическом плане и для которых разработаны стандарт-
ные методы приближенного решения. В случае одной простран-
ственной переменной нестационарное уравнение в частных про-
изводных второго порядка можно записать в виде
                  Autt + Butx + Cu xx + Dut + Eu x = F .
Здесь u(t, x) – искомая функция; t, x – независимые переменные;
A, B, C, D, E и F – коэффициенты уравнения, которые, вообще
говоря, зависят от t, x и u. Если все коэффициенты являются
константами, то это линейное уравнение с постоянными коэф-
фициентами. Если коэффициент F – линейная функция от неиз-
вестной u, а остальные коэффициенты от u не зависят, то такое
уравнение называется линейным с переменными коэффициен-
тами. И наконец, если все коэффициенты линейно зависят от u,
то такие уравнения называются квазилинейными.
     Если коэффициенты A, B, С нулевые, а D ≠ 0 и E ≠ 0, то
уравнение имеет первый порядок и называется уравнением пе-
реноса. Если хотя бы один из коэффициентов A, B, С отличен от
нуля, уравнение имеет второй порядок и может быть классифи-
цировано по типам аналогично кривым второго порядка. Тип
уравнения определяется коэффициентами при старших произ-
водных. Если дискриминант B2 – 4 A C положителен, то урав-
нение называется гиперболическим, если равен нулю – парабо-
лическим, если отрицателен – эллиптическим. Такая классифи-
                              76