Основы гидрофизики. Беховых Л.А - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГАУ | Барнаул

Составители: 

Рубрика: 

91
Решая совместно уравнения (4.1)-(4.6), получаем
.
ттт
2
2
2
2
2
2
т
∂
∂
∂
λ∂
+
∂
∂
∂
λ∂
+
∂
∂
∂
λ∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
∂
∂
υ+
∂
∂
υ+
∂
∂
υ+
τ∂
∂
ρ
z
t
zy
t
yx
t
x
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
tt
c
zyx
(4.7)
При совместном решении уравнений (4.1)-(4.6) учтено ус-
ловие неразрывности несжимаемой жидкости
∂υ
x
/∂x + ∂υ
y
/∂y + ∂υ
z
/∂z = 0 (4.8)
и не учтены слагаемые
,,,
222
dxdydz
z
t
z
dzdxdy
y
t
y
dydzdx
x
t
x
z
y
x
∂
∂
∂
υ∂
∂
∂
∂
υ
∂
∂
∂
∂
υ∂
а также
,,,
2
2
2
т
2
2
2
т
2
2
2
т
dxdydz
z
t
z
dzdxdy
y
t
y
dydzdx
x
t
x ∂
∂
∂
λ∂
∂
∂
∂
λ∂
∂
∂
∂
λ∂
ввиду их малости. Уравнение (4.7) носит название
диффе-
ренциального уравнения температурного поля турбулентного
потока жидкости.
Его также называют уравнением энергии.
При постоянном значении коэффициента турбулентной те-
плопроводности λ
т
для всего потока уравнение (4.7) примет вид
.
2
2
2
2
2
2
т
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
λ
=
∂
∂
υ+
∂
∂
υ+
∂
∂
υ+
τ∂
∂
z
t
y
t
x
t
cz
t
y
t
x
tt
zyx
(4.9)
Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется
в зависимости от координат
x, у, z. Но так как недостаток знаний
об его изменениях по координатам не позволяет определить ха-
рактер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.
Учитывая, что левая часть уравнения (4.9) − полная произ-
водная от температуры по времени, то
dt/dτ = а
т
(∂
2
t/∂x
2
+ ∂
2
t/∂y
2
+ ∂
2
tl∂z
2
) (4.10)
или
dt/dτ = а
т
∇
2
t, (4.11)
где
а
т
= λ
т
/(cρ) − коэффициент турбулентной температуропро-
водности.
При наличии в потоке внутренних источников теплоты (на-
пример, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного со-
     Решая совместно уравнения (4.1)-(4.6), получаем
         ∂t    ∂t      ∂t      ∂t         ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t 
     cρ + υ x    + υy    + υ z  = λ т  2 + 2 + 2  +
         ∂τ    ∂x      ∂y      ∂z         ∂x   ∂y   ∂z 
                                                                           (4.7)
                       ∂λ т ∂t ∂λ т ∂t ∂λ т ∂t 
                   +           +          +         .
                       ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 
     При совместном решении уравнений (4.1)-(4.6) учтено ус-
ловие неразрывности несжимаемой жидкости
                        ∂υx/∂x + ∂υy/∂y + ∂υz/∂z = 0                       (4.8)
и не учтены слагаемые
       ∂υ x ∂t 2              ∂υ y ∂t               ∂υ z ∂t
                 dx dydz ,              dxdy 2 dz ,           dxdydz 2 ,
        ∂x ∂x                   ∂y ∂y                ∂z ∂z
а также
       ∂λ т ∂ 2t 2            ∂λ т ∂ 2t      2      ∂λ т ∂ 2t
                 dx dydz  ,             dxdy   dz ,            dxdydz 2 ,
        ∂x ∂x  2
                                ∂y ∂y 2
                                                     ∂z ∂z  2


     ввиду их малости. Уравнение (4.7) носит название диффе-
ренциального уравнения температурного поля турбулентного
потока жидкости. Его также называют уравнением энергии.
     При постоянном значении коэффициента турбулентной те-
плопроводности λт для всего потока уравнение (4.7) примет вид
         ∂t        ∂t        ∂t       ∂t λ т  ∂ 2 t ∂ 2 t ∂ 2 t 
            + υx       + υy      + υz     =          +        +    . (4.9)
         ∂τ       ∂x         ∂y       ∂z cρ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
     Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется
в зависимости от координат x, у, z. Но так как недостаток знаний
об его изменениях по координатам не позволяет определить ха-
рактер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.
     Учитывая, что левая часть уравнения (4.9) − полная произ-
водная от температуры по времени, то
                  dt/dτ = ат (∂2t/∂x2 + ∂2t/∂y2 + ∂2tl∂z2)                (4.10)
или
                              dt/dτ = ат ∇2t,                             (4.11)
где ат = λт/(cρ) − коэффициент турбулентной температуропро-
                        водности.
     При наличии в потоке внутренних источников теплоты (на-
пример, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного со-

                                      91

Страницы