Высокопроизводительные вычисления на кластерах. Беликов Д.А - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128
включительно. После аппроксимации производных правой части
ОДУ
( )
Ay f t
получено семейство схем Рунге–Кутты четвертого
порядка, из которых наиболее используемой в вычислительной
практике является следующая:
5
1 2 3 4
( ) ( 2 2 ) / 6 ( ),
(7.3)
где
1
2 1
3 2
4 3
( ) ( ),
( ( ) / 2) ( / 2),
( ( ) / 2) ( / 2),
( ( ) ) ( ).
k hAy t hf t
k hA y t k hf t h
k hA y t k hf t h
k hA y t k hf t h
Схема (7.3) на каждом шаге
h
требует вычисления правой части
системы ОДУ в четырех точках:
1 2 3 4
, , ,
k k k k
. По формулам (7.3)
видно, что расчет значений компонент этих векторов должен вы-
полняться последовательно. Кроме того, следует отметить, что при
вычислении каждого вектора
i
k
выполняется операция gaxpy – ум-
ножение матрицы на вектор и суммирование с другим вектором.
7.3 Параллельная реализация метода Рунге–Кутты
четвертого порядка
Поскольку в описанной выше вычислительной схеме наиболее
трудоемкой является операция умножения матрицы на вектор при
вычислении
i
k
,
4
3
2
1
,
,
,
i
, то основное внимание будет уделено рас-
параллеливанию этой операции. Здесь будет применяться алгоритм
скалярных произведений при умножении матрицы на вектор. По-
этому для инициализации будем использовать следующую схему
декомпозиции данных по имеющимся процессорным элементам
(ПЭ) с локальной памятью: на каждый
-й ПЭ (
0,..., 1
p
) рас-
пределяется блок строк матрицы
(1 / : ( 1) / ,1: )
A A n p n p n
, вектор
0
y
. Принимаем
0
m
.
m
– номер вычислительного уровня. Далее расчеты производятся
по следующей схеме:

Страницы