Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 37 стр.

      Для разрешения полученной системы относительно hn домножим обе
                         2p
                     j      kn ¢
ее части на e            K          и просуммируем по k :
      K -1         2p                  K -1 j 2 p kn ¢ K -1        2p                 K -1      K -1 j 2 p kn ¢ - j 2 p kn
                  j kn ¢                                        - j kn
      å Hk       e K               =   å    e K
                                                         å  hn e K                =   å hn å        e K e K                  =
      k =0                             k =0            n =0                           n=0       k =0
                                                                                                                                 (6.4)
                     K -1           K -1 j 2 p (n ¢ - n )k       K -1        K -1 j 2 p ( n ¢ - n )k
                 =       å hn å         e K                  =   å hn å          e K                 .
                     n =0           k =0                         n =0        k =0
      Вычислим сумму в выражении (6.4):
                          ìK                        при n = n¢ ü
           2 p
    K -1 j ( n ¢ - n )k   ïï        2 p
                                   j (n ¢ - n ) K                 ïï ì K при n = n¢
    å    e K            =  í 1 - e   K
                                                     при   n ¹ n
                                                                      =
                                                                 ¢ý íî0 при n ¹ n¢
                                                                                    .
    k =0                   ï         2 p
                                    j (n ¢ - n )                   ï
                           îï 1 - e K                              þï
      Теперь (6.4) примет окончательный вид:
                                                          2p
                                              1 K -1     j kn
                                     hn = å H k e K .                                 (6.5)
                                             K k =0
      Итак, нам удалось подобрать конечный набор отсчетов импульсной ха-
рактеристики цифрового фильтра с заданными K значениями частотной ха-
рактеристики. Зная отсчеты импульсной характеристики, можно вычислить
передаточную характеристику фильтра:
                 K -1                      K -1     K -1                 2p                  K -1        K -1 j 2 p kn
                                            1                        j      kn          1
     H (z ) =    å hn z         -n
                                       =å           å Hke                K     z-n    =      å Hk å          e K z-n         =
                 n=0                    n=0 K       k =0                                K    k =0        n =0
                                                                                                                   K
                                                                                    æ j 2 p k -1 ö
                                                                                 1- çe K z ÷
                  1 K -1 K -1æç j K k -1 ö÷
                                   2p                                n
                                                                          1 K -1    ç            ÷
                 = åHk å e            z                                  = åHk      è            ø =                             (6.6)
                  K k = 0 n = 0 çè        ÷
                                          ø                               K k =0         2p
                                                                                        j k
                                                                                  1 - e K z -1
                                    1- z-K        K -1
                                                                 Hk
                                =
                                      K
                                                  å              j
                                                                     2p
                                                                        k
                                                                                 .
                                                  k =0               K z -1
                             1- e
      Полученный результат вызывает некоторое недоумение – мы проекти-
ровали фильтр с передаточной характеристикой, содержащей только нули,
однако получившаяся в результате передаточная характеристика (6.6) в яв-
ном виде содержит полюсы. Если, однако, внимательно присмотреться к пе-
редаточной характеристике (6.6), то можно заметить, что выражение 1 - z - K
представляет собой полином с K корнями:
                æ -1    2p
                           öæ -1 2 j 2 p öæ -1 3 j 2 p ö æ -1 (K -1) j 2 p ö
           -1
             (  ç
                      j
                        K   )
 z - 1 = z - 1 z - e ÷ç z - e K ÷ç z - e K ÷...ç z - e
  -K            ç
                           ÷ç            ÷ç            ÷ ç
                                                                       K ÷,
                                                                           ÷
                è          øè            øè            ø è                 ø
то есть каждый полюс передаточной характеристики (6.6) компенсируется
нулем и результирующая характеристика по-прежнему не содержит полюсов.

                                                                            37