Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 36 стр.

     6. Проектирование цифровых фильтров методом частотной вы-
борки.

      Попытаемся создать цифровой фильтр, частотная характеристика кото-
рого в конечном числе точек совпадает с заданной характеристикой H (w) .
Пусть количество этих точек равно N. Тогда справедлива система:
                         H (wk ) = H k , k = 0, ..., K - 1.                                 (6.1)
      Назвать эту систему системой уравнений, конечно, уместно только в
том случае, если она содержит K неизвестных в левой части. Передаточная (а
следовательно, и частотная) характеристика любого цифрового фильтра с со-
средоточенными параметрами имеет вид (3.7) и полностью определяется за-
данием конечного набора нулей и полюсов:
          a + a1e - jwD z -1 + a 2 e - 2 jwD + ... + a N -1e - j ( N -1)wD + a N e - jNwD
   H (w) = 0                                                                              . (6.2)
             1 + b1e - jwD + b 2 e - 2 jwD + ... + b N -1e - j (M -1)wD + b M e - jMwD
      Если принять в выражении (6.2) N + M + 1 = K , то система (6.1) дейст-
вительно превращается в систему уравнений относительно K неизвестных
коэффициентов цифрового фильтра и проектирование цифрового фильтра
сведется к решению этой системы. Для проектировщика, конечно, остается
проблема выбора – сколько нулей и сколько полюсов должна содержать пе-
редаточная характеристика создаваемого фильтра. Более того, даже если оп-
ределиться с количеством нулей и полюсов, все равно останется опасность,
что рассчитанный фильтр будет иметь полюсы передаточной характеристи-
ки, лежащие вне единичной окружности, и, следовательно, не будет устойчи-
вым. Этих осложнений можно избежать, если совсем отказаться от полюсов
передаточной характеристики. В этом случае частотная характеристика
фильтра определяется K коэффициентами a n , которые к тому же являются
отсчетами импульсной характеристики фильтра hn = an , и которые можно
найти, решая систему уравнений:
                                     K -1
                  H k = H (wk ) =    å hn e - jw nD , k
                                                               k = 0, ..., K - 1.         (6.3)
                                     n=0
     Решение системы (6.3) дает непосредственно коэффициенты трансвер-
сального фильтра, при этом на выбранные частоты wk не накладывается ни-
каких ограничений. Описанный метод проектирования цифровых фильтров
позволяет проектировать фильтры с конечной импульсной характеристикой и
называется методом частотной выборки.
     В практическом смысле удобно выбрать частоты wk равномерно от-
стоящими друг от друга на интервале 0… 2p :
                          2p
                     wk =    k , k = 0, ..., K - 1.
                          KD
     При таком выборе система (6.3) примет более удобный вид:
                              K -1          2p
                                       -j      kn
                       Hk =   å hn e        K     ,       k = 0, ..., K - 1.
                              n=0

                                                          36