Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 42 стр.

    Передаточная характеристика линейной        Передаточная характеристика линейной
аналоговой цепи с сосредоточенными пара- дискретной цепи с сосредоточенными па-
метрами имеет вид отношения полиномов раметрами имеет вид отношения полиномов
от аргумента s:                             от аргумента z -1 :
                         P (s )
                H (s ) = 1      .                           (   ) =
                                                                   ( )
                                                                     P1 z -1
                        P2 (s )                           H   z              .
                                                                  ( )
                                                                    P2 z -1
    Аналоговая цепь с сосредоточенными          Дискретная цепь с сосредоточенными
параметрами является устойчивой тогда и параметрами является устойчивой тогда и
только тогда, если ее передаточная характе- только тогда, если ее передаточная характе-
ристика не имеет полюсов в правой части s- ристика не имеет полюсов за пределами
плоскости: Re(s ) > 0 .                     единичной окружности z-плоскости: z > 1 .
      Теория аналоговых цепей обладает большим количеством рецептов по-
строения фильтров с заданными свойствами (фильтры Бесселя, Баттерворта,
Чебышева, фильтры низких и высоких частот, полосовые и заградительные
фильтры, [У.Титце, К.Шенк. Полупроводниковая схемотехника: Справочное пособие. –
М.: Мир, 1982, с.185 ]). Всеми этими рецептами можно было бы воспользовать-
ся, если бы удалось найти подходящее преобразование из s-плоскости в z-
плоскость. Исходя из указанных свойств аналоговых и дискретных цепей, это
преобразование должно обладать следующими свойствами.
      1) Мнимая ось s-плоскости должна отображаться в единичную окруж-
ность z-плоскости.
      2) Левая полуплоскость s-плоскости Re(s ) < 0 должна отображаться во
внутреннюю часть единичного круга z-плоскости z < 1 .
      3) Преобразование должно быть дробно-рациональным, поскольку
именно такое преобразование будет отображать отношение полиномов от ар-
гумента s в отношение полиномов от аргумента z -1 , что позволит реализовы-
вать цифровые фильтры с сосредоточенными параметрами.
      В качестве искомого преобразования можно предложить замену произ-
водной по времени конечной разностью:
                               dx     x -x
                                   ® n +1 n .
                               dt         D
      Если сделать преобразование Лапласа левой части этого выражения и
z-преобразование правой части, то можно получить:
                                       z -1
                             sX (s ) ®      X (z ) ,
                                        D
откуда и следует явный вид требуемого преобразования:
                                       z -1
                                   s®       ,                              (7.1)
                                         D
откуда следует обратное преобразование:
                                  z ¬ sD + 1 .                            (7.1а)
      Описанный метод носит название метод прямой разности. Из соотно-
шения (7.1а) следует, что левая полуплоскость s-плоскости переходит в ле-
вую полуплоскость Re( z ) < 1 z-плоскости, а мнимая ось s-плоскости – в пря-
                                          42