Неопределенный интеграл. Беломестных Л.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1. Непосредственное интегрирования основано на знании таблицы инте-
гралов и основных свойств неопределенного интеграла.
2. Метод подведения под дифференциал основан на теореме об инвари-
антности формул интегрирования
Проследим процесс применения теоремы об инвариантности формул ин-
тегрирования, который позволяет находить первообразные для многих элемен-
тарных функций. Рассмотрим один из табличных интегралов
Cxdxx cossin , x
)
,
(

Поставим вместо x любую функцию, имеющую непрерывную производ-
ную, например
t
et )( . Тогда, по теореме, должно быть справедливо равенст-
во
Ceede
ttt
cos)(sin , t
)
,
(

,
или
Cedtee
ttt
cossin , t
)
,
(

.
Таким образом, если поставлена задача «Найти
dtee
tt
sin », то нужно
уметь понять структуру подынтегрального выражения, увидеть в нем функцию
e
t
и её дифференциал, т.е. заметить, что
)(sin)(sinsin
tttttt
ededteedtee .
Умение видеть среди сомножителей подынтегрального выражения неко-
торую функцию (t) и её дифференциал, позволяющее свести данный интеграл
)()( tdtf к табличному
dxxf )( , составляет необходимую, важнейшую
часть искусства интегрирования. Приведем примеры.:
Найти интеграл
x
dx
x
3
ln . Так как )ln( xd
x
dx
, то мы имеем
x
dx
x
3
ln =
)(lnln
3
xdx = Cx
4
ln
4
1
.
Действительно, проверим
x
dx
xxxCx
334
ln)(lnln4
4
1
ln
4
1
.
Таким образом интеграл найден верно. Аналогично
Cxxdxxdxx
433
sin
4
1
)(sinsincossin ,
Cxx
x
x
xxd
dx
x
x
x
73ln
7
3
)73(
7
3
)32(
2
2
2
2
.
3. Метод замены переменной. Полагая
)
(
t
x
, где t – новая перемен-
ная, а
)
(
t
- непрерывно дифференцируемая функция, имеем
dtttftdtfdxxf )(')()()()( . (1)
Функцию выбирают так, чтобы интеграл в правой части формулы (1)
был проще исходного. Например, требуется найти
dxxx 1 . Естественно по-
ложить 1 xt , тогда
1
2
t
x
, и
tdt
dx
2
. Таким образом, имеем

Страницы