Неопределенный интеграл. Беломестных Л.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

dxxx 1 =
Cttdttttdttt
35242
3
2
5
2
)(22)1( .
Возвращаясь к исходной переменной, получаем
dxxx 1 = Cxx
2
3
2
5
)1(
3
2
)1(
5
2
.
Иногда интеграл удается упростить заменой (x) = t. Например, найти
2
412 xx
xdx
. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком корня, дополним до
полного квадрата:
12 4х х
2
= (х
2
+ 4х 12) = ( х
2
+ 2 · 2х + 2
2
2
2
12) =
16)2(
2
x .
Сделаем подстановку 2,,2
txdtdxtx . Тогда
2
412 xx
xdx
=
2
)2(16 x
xdx
=
2
16
)2(
t
dtt
=
22
16
2
16 t
dt
t
dtt
.
Второй интеграл – табличный:
C
a
u
ua
du
arcsin
22
. Первый интеграл
приводится к табличному
C
n
u
duu
n
n
1
1
по теореме об инвариантности фор-
мул интегрирования Cttdt
2
1
22
2
1
2
)16()16()16(
2
1
. Сделав пере-
ход к старой переменной , получим
2
412 xx
xdx
= C
x
xx
4
2
arcsin2412
2
.
4. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы
duvvudvu . Для его применения подынтегральное выражение необхо-
димо представить в виде произведения udv таким образом, чтобы интеграл в
правой части был проще исходного. Напомним некоторые примеры примене-
ния метода интегрирования по частям
Вид подынтегральной
функции
Рекомендация Ожидаемое упрощение по-
дынтегрального выражения
Произведение многочлена
P
n
(x) на показательную или три-
гонометрическую функцию
U = P
n
(x)
Под интегралом степень
многочлена уменьшится
на единицу, т. к.
dU = P
'
n
(x)dx
Произведение многочлена
P
n
(x) на логарифмическую или
обратную тригонометрическую
функцию
dV = P
n
(x) dx
Под интегралом вместо
трансцендентной функции
появится алгебраическая
Среди интегрируемых функций особое место занимают дробно-
рациональные функции, интеграл от которых всегда может быть выражен через
элементарные функции, а именно через степенные, логарифмические функции

Страницы