Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Выразим переменные
321
u,u,u и подставим их в четвертое и пятое
уравнения последней системы. Получим
).(u),(u),2(u
113112111
µ
+
λ
−
=
µ
−
λ
−
=
µ
+
λ
−
=
Тогда
=−µ−λ−µ
−=µ+λ
.0)562(
323
111
11
Последняя система имеет два решения. Первое: если ,0
1
=
µ
то
=
=
−
=
λ
.1u
1u
1
2
1
1
Значение функционала равно
.
3
)
u
(
I
=
Второй случай: если значение в
скобках равно нулю, т .е. ,0562
11
=
+
µ
+
λ
то
<+−=µ
−=λ
.0)
7
12
3(
2
1
7
4
1
1
Этот случай нас не устраивает .
Пример 2. Минимизировать функцию
infuuu)u(I
321
→
=
при ограничении
1uuu
2
3
2
2
2
1
≤++ .
Составим функцию Лагранжа. Она имеет вид
).1uuu(uuuL
2
3
2
2
2
113210
−++µ+λ=
Посчитаем частные производные по всем переменным . Получим
31210
3
21310
2
11320
1
u2uu
u
L
u2uu
u
L
u2uu
u
L
µ+λ=
∂
∂
µ+λ=
∂
∂
µ+λ=
∂
∂
Приравняем полученные производные к нулю и добавим к этой системе
условия дополняющей нежесткости 
                                 23

Выразим переменные u1 , u 2 , u 3 и подставим их в четвертое и пятое
уравнения последней системы. Получим
         u1 =−(λ1 +2µ1 ), u 2 =−(λ1 −µ1 ), u 3 =−(λ1 +µ1 ).
Тогда
                          �                     3λ1 +2µ1 =−3
                            �
                              � µ1 (−2λ1 −6µ1 −5) =0.
Последняя система имеет два решения. Первое: если µ1 =0, то
                                         � λ1 =−1
                                          �
                                            � u1 =1
                                             � u =1.
                                              � 2
Значение функционала равно I(u ) =3. Второй случай: если значение в
скобках равно нулю, т.е. 2λ1 +6µ1 +5 =0, то
                                �                        4
                                  �                λ1 =−
                                                         7
                                    �             1     12
                                      � µ1 = (−3 + ) <0.
                                       �          2      7
Этот случай нас не устраивает.

    Пример 2. Минимизировать функцию
                          I(u ) =u 1u 2 u 3 → inf
при ограничении
                           u 12 +u 22 +u 32 ≤1 .

Составим функцию Лагранжа. Она имеет вид
                  L =λ0 u1u 2 u 3 +µ1 (u12 +u 22 +u 32 −1).
Посчитаем частные производные по всем переменным. Получим

                         ∂L
                              =λ0 u 2 u 3 +2µ1u1
                         ∂u1
                         ∂L
                              =λ0 u1u 3 +2µ1u 2
                        ∂u 2
                         ∂L
                              =λ0 u1u 2 +2µ1u 3
                         ∂u 3
Приравняем полученные производные к нулю и добавим к этой системе
условия дополняющей нежесткости

Страницы