Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
infuue)u(I
21
uu
21
→−−=
−
при ограничениях
.0u,0u,1uu
2121
≥
≥
≤
+
ЗАДАЧА НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
ТИПА РАВЕНСТВ И НЕРАВЕНСТВ
Поставлена задача
min,
)
u
(
I
→
(15)
при условии, что
}.k,...,1sj,0)u(h;s,...,1i,0)u(g|Ru{Uu
ji
n
+=≤==∈=∈ (16)
Задачу (15),(16) можно свести к задаче на условный экстремум с
ограничениями типа равенств. Введем новые переменные:
).w,...,w(w;k,...,1sj,w
k1sj +
=
+
=
Тогда задача примет вид
min,
)
u
(
I
)
w
,
u
(
I
→
=
(17)
,s,...,1i,0)u(g
i
=
=
(18)
.k,...,1sj,0w)u(h
2
jj
+==+ (19)
Задачи (15),(16) и (17)-(19) эквивалентны в следующем смысле: если
)w,u(
**
является точкой локального экстремума для задачи (17)-(19), то
*
u - точка локального экстремума для задачи (15),(16). И наоборот, если
*
u
- точка локального экстремума для задачи (15),(16), то существует
вектор
*
w , такой что точка )w,u(
**
- точка локального экстремума для
задачи (17)-(19).
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Составляем функцию Лагранжа
)u(h)u(g)u(IL
j
s
1j
ji
s
1i
i0
1
∑∑
==
µ+λ+λ=
и потребуем выполнения cледующих условий:
1.
0
u
L
=
∂
- необходимое условие экстремума;
2. ;s,...,1i,0)u(g
i
=
=
3.
1jj
s,...,1j,0)u(h
=
=
µ
- условия дополняющей нежесткости, где
j
µ
-
некоторые числа; 
                                                 21

                    I(u ) =e u1 −u 2 −u 1 −u 2 → inf
     при ограничениях
                          u1 +u 2 ≤1, u1 ≥0, u 2 ≥0.


ЗАДАЧА НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
           ТИПА РАВЕНСТВ И НЕРАВЕНСТВ

      Поставлена задача
                                    I(u ) → min,                                   (15)
при условии, что
        u ∈U ={u ∈R n | g i (u ) =0, i =1,..., s; h j ( u ) ≤0, j =s +1,..., k}.   (16)
Задачу (15),(16) можно свести к задаче на условный экстремум с
ограничениями типа равенств. Введем новые переменные:
                        w j , j =s +1,..., k; w =( w s+1 ,..., w k ).
 Тогда задача примет вид
                    I(u, w ) =I(u ) → min,                                         (17)
                    g i (u ) =0, i =1,..., s,                                      (18)
                          h j ( u ) +w 2j =0, j =s +1,..., k.              (19)
Задачи (15),(16) и (17)-(19) эквивалентны в следующем смысле: если
 ( u * , w * ) является точкой локального экстремума для задачи (17)-(19), то
 u * - точка локального экстремума для задачи (15),(16). И наоборот, если
 u * - точка локального экстремума для задачи (15),(16), то существует
вектор w * , такой что точка ( u * , w * ) - точка локального экстремума для
задачи (17)-(19).

                      АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

       Составляем функцию Лагранжа
                                           s              s1
                          L =λ0 I( u ) +∑ λi g i (u ) + ∑ µ j h j ( u )
                                          i =1            j=1
и потребуем выполнения cледующих условий:
   ∂L
1.    =0 - необходимое условие экстремума;
   ∂u

2. g i (u ) =0, i =1,..., s;

3. µ j h j (u ) =0, j =1,..., s1 - условия дополняющей нежесткости, где µ j -
некоторые числа;

Страницы