Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
3
12
2
21
2
u
uu
L
uu
L
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
,
2
31
2
13
2
u
uu
L
uu
L
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
,
1
23
2
32
2
u
uu
L
uu
L
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
,
(
)
1
0
=
λ
.
Поэтому
(
)
()
6
1
2,uL
**
,u
1
**
uu
=λ=λ
λ
,
(
)
()
()
()
1,2
6
1
u,u,uL
**
,u
32
**
uv
−==λ
λ
,
()
()
()
2,1
6
1
u
u
,uL
**
,u
2
3
**
vu
−=
=λ
λ
,
()
()
=
λ
λ
=λ
λ
11
11
6
1
u
u2
,uL
**
,u
11
11
**
vv
,
()
()
−
=
=λ
λ
11
6
2
6
4
11
u2u2
,ug
**
,u
32
**
v
,
()
−−
−
−=λ
−
6
4
1
6
2
1
6
1
,ug
**1
v
,
()
−
=λ
1
6
2
1
6
4
,ug
**T
v
,
()()
−−
−
−=λ
−
6
4
6
2
11
6
1
,ug
**
1
T
v
,
()
()
=
=λ
λ
1
6
2
2
u2
,ug
**
,u
2
**
u
.
Подставляя значения матриц в формулу для вычисления D, находим
0
6
5
6
6
6
1
6
1
6
1
D >=+−−= .
Следовательно , точка
−=
6
1
,
6
2
,
6
1
u
*
доставляет минимальное
значение целевой функции при заданных ограничениях и это значение равно
6
3
−
. В остальных точках достаточное условие проверяется аналогично .
Задания для самостоятельной работы
1. Минимизировать функцию
infuuu)u(I
321
→
=
при ограничениях
,1uuu
2
3
2
2
2
1
=++
.0uuu
321
≤
+
+
2. Минимизировать функцию 
                                                                    20

         ∂2L            ∂2L                  ∂2L       ∂2L               ∂2L         ∂2L
                 =                  =u 3 ,           =         =u 2 ,             =         =u 1 ,
       ∂u 1∂u 2 ∂u 2 ∂u 1                   ∂u 3 ∂u 1 ∂u 1∂u 3        ∂u 2 ∂u 3 ∂u 3 ∂u 2
(λ 0 =1).
Поэтому
               (        )                     1
                                                                    (            )   1
         L uu u * , λ* =2λ1(u* ,λ* ) = , L uv u * , λ* =(u 2 , u 3 )(u* ,λ* ) = (−2,1),
                                               6                                      6
                    � u �                                          � 2λ1 u 1 �            1 � 1 1�
        (       )
   L vu u * , λ* =�� 3 ��
                                         1
                                       = (1,−2) , L vv u * , λ* =��      (     ��    )   = ��       � ,
                     � u 2 � (u* ,λ* )     6                        � u 1 λ1 � (u* ,λ* )   6 � 1 1��
                                                                                                �      2 �
                                                        �     4          2 �                      � 1 − �
                   � 2u 2       2u 3 �
        (      )
   g v u * , λ* =��
                                     1 ��
                                          �          =�
                                                          � −
                                                               6
                                                                              �          (  1
                                                                                             )
                                                                          6 � , g v u , λ =− �
                                                                                  −1 * *                6� ,
                    � 1                       (u ,λ ) �� 1
                                                * *
                                                                         1 ��                6 � −1 − �4
                                                                                                   �       �
                                                                                                     �  6�
                                 �  4     �
                              � −      1�                                                         −1 �
                                                                                  1 �� 12
                    (       )
              g Tv u * , λ* =�       6 � ,                     ( )(
                                                               g Tv
                                                                    −1
                                                                         u , λ =−
                                                                             *   *
                                                                                     )             4 �
                                                                                                 − � ,
                               � 2     1��                                         6� − 6
                                �                                                     �             6�
                                  � 6       �
                                                     � 2 �
                                                       � 2u 2 �
                                               (
                                          g u u , λ =��
                                                   *   *
                                                           )
                                                  =�� 6 �� .    ��
                                         (u* ,λ* ) �� 1 ��
                                                        � 2 �
     Подставляя значения матриц в формулу для вычисления D, находим
                                1    1   1        6      5
                         D=        − − +               =     >0 .
                                 6    6   6        6       6
                              � 1     2 1 �
   Следовательно, точка u * =�     ,− ,       � доставляет минимальное
                               � 6     6 6�
   значение целевой функции при заданных ограничениях и это значение равно
        3
    −      . В остальных точках достаточное условие проверяется аналогично.
         6

                                Задания для самостоятельной работы

        1. Минимизировать функцию
                                I(u ) =u1u 2 u 3 → inf
          при ограничениях
                                 u 12 +u 22 +u 32 =1,
                                 u 1 +u 2 +u 3 ≤0.

        2. Минимизировать функцию

Страницы