Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
=++
=++
=λ+λ+
=
=
0uuu
1uuu
0u2uu
uu
uu
.1
321
2
3
2
2
2
1
21132
13
12
=++
=++
=λ+λ+
=λ
=
0uuu
1uuu
0u2uu
2
u
uu
.2
321
2
3
2
2
2
1
21132
2
1
23
;
=++
=++
=λ+λ+
=λ
=
0uuu
1uuu
0u2uu
2
u
uu
.3
321
2
3
2
2
2
1
21132
2
1
21
;
=++
=++
=λ+λ+
=λ
=
0uuu
1uuu
0u2uu
2
u
uu
.4
321
2
3
2
2
2
1
21132
3
1
31
.
Нетрудно видеть, что первая система несовместна, вторая эквивалентна
системе
λ−−=λ
=λ
=
−=
=
11322
2
1
2
2
21
23
u2uu
2
u
1u6
u2u
uu
,
решением которой является вектор
6
1
,
62
1
,6
1
uu,
6
2
u
21321
=λ±=λ±==±= . Аналогично получаем , что
решением системы 3 является вектор
6
1
,
62
1
,6
2
u
,6
1
u,
6
1
u
21321
=λ±=λ±=±=±= , а системы 4 -
6
1
,
62
1
,6
1
u
,6
2
u,
6
1
u
21321
=λ±=λ±=±=±= .
Проверим, выполнено ли достаточное условие для точки
−
6
1
,
62
1
,
6
1
,
6
2
,
6
1
. Выделим независимые и зависимые переменные.
Будем считать
1
uu
=
- независимой переменной и
3221
uv,uv
=
=
- функциями
от
1
u
. Для того чтобы выписать все матрицы, входящие в формулу для
вычисления матрицы D (в данном случае матрица вырождается в число ),
посчитаем вторые частные производные функции Лагранжа
1
2
1
2
2
u
L
λ=
∂
∂
,
1
2
2
2
2
u
L
λ=
∂
∂
,
1
2
3
2
2
u
L
λ=
∂
∂
, 
                                                                 19


                              �                 u 2 =u 1                                 �             u 3 =u 2
                              �                                                          �                   u
                                                u 3 =u 1                        �                     λ1 = 2
                      ��                                                          �                           2
                   1.�                u 2 u 3 +2λ1 u 1 +λ 2 =0               2.�             u 2 u 3 +2λ1u 1 +λ 2 =0 ;
                         �                u 12 +u 22 +u 32 =1                       �
                           �                                                          �          u 12 +u 22 +u 32 =1
                             ��           u 1 +u 2 +u 3 =0                              ��       u 1 +u 2 +u 3 =0
                                  �  u 1 =u 2                                                 �                      u 1 =u 3
                                  �         u                                                   �                          u
                  �                  λ1 = 2                                                       �                  λ1 = 3
                    �                        2                                                      �                       2
               3.� u u +2λ u +λ =0 ;                                                       4.� u u +2λ u +λ =0 .
                               2 3       1 1                      2                                            2 3       1 1    2
                      �                                                                               �
                        �       u 1 +u 2 +u 3 =1
                                  2     2      2
                                                                                                        �       u 1 +u 2 +u 3 =1
                                                                                                                  2     2     2

                          ��    u 1 +u 2 +u 3 =0                                                          ��    u 1 +u 2 +u 3 =0
          Нетрудно видеть, что первая система несовместна, вторая эквивалентна
системе
                                                 �                       u 3 =u 2
                                                   �                    u 1 =−2u 2
                                                     �
                                                       �                  6u 22 =1
                                                         �                                                   ,
                                                           �             λ1 = 2
                                                                                  u
                                                             �                     2
                                                               �� λ 2 =−u 2 u 3 −2λ1 u 1
решением которой является вектор
           2                            1                              1              1
    u 1 =± , u 2 =u 3 =±                    λ1 =±                          , λ 2 = . Аналогично получаем, что
            6                            6,                          2 6              6
решением системы 3 является вектор
           1                     1              2                             1             1
    u 1 =± , u 2 =±                  u 3 =±                         λ1 =±           , λ 2 = , а системы 4 -
            6                     6,             6,                          2 6            6
           1                     2              1                             1             1
    u 1 =± , u 2 =±                  u 3 =±                         λ1 =±           , λ2 = .
            6                     6,             6,                          2 6            6
          Проверим, выполнено ли достаточное условие для точки
� 1        2 1                  1 1�
 �       ,− ,                ,      , � . Выделим независимые и зависимые переменные.
   � 6       6 6 2 6 6�
Будем считать u =u 1 - независимой переменной и v1 =u 2 , v 2 =u 3 - функциями
от u 1 . Для того чтобы выписать все матрицы, входящие в формулу для
вычисления матрицы D (в данном случае матрица вырождается в число),
посчитаем вторые частные производные функции Лагранжа
                                            ∂2L                             ∂2L              ∂2L
                                                                  =2λ1 ,           =2λ1 ,                        =2λ1 ,
                                            ∂u 12                           ∂u 22            ∂u 32

Страницы