Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
()
()
112
2
13
312
2
2vu
1
T
v
T
u
u44u2
u
2u
uu2u
10
u
1
2,u2Lgg +λ−=
λ+
+−
=
−
;
(
)
()
()
31112131
2
121
2
2
31
2
11
11
312
2
2
u
1
vvv
1
T
v
T
u
u2u4u2uu2u4uu2
u
4
2
u2
uu21
u0
0u
u0
uu2u
10
u
1
2,u2
ggLgg
λ−λ−λ−−−−=
=
+
−
λ+
λ+
+−
=
=
−
−
Подставляя значения матриц в формулу для вычисления D, находим
(
)
31112131
2
121
2
112121
u2u4u2uu2u4uu2
u
4
u44u2u4u24D λ+λ+λ+++−−λ+−−−λ=
()
040D
18,3,12,2,3
<
−
=
−−−−
,
()
3
112
D
9/2,3/1,39/28,3/26,3/1
=
−−−−
.
Следовательно , точка
(
)
12,2,3u −−=
∗
не доставляет минимальное
значение целевой функции, а точка
(
)
39/28,3/26,3/1u −−−=
∗
доставляет
минимальное значение целевой функции при заданных ограничениях.
Пример 2. Минимизировать функцию
infuuu)u(J
321
→
=
при ограничениях
1uuu
2
3
2
2
2
1
=++
,
0uuu
321
=
+
+
.
1. Выпишем функцию Лагранжа
)uuu()1uuu(uuu),,u(L
3212
2
3
2
2
2
1132100
++λ+−++λ+λ=λλ
.
2. Найдем частные производные функции Лагранжа
231210
3
221310
2
221320
1
u2uu
u
L
u2uu
u
L
u2uu
u
L
λ+λ+λ=
∂
∂
λ+λ+λ=
∂
∂
λ+λ+λ=
∂
∂
3. Решаем систему 
                                                                     17




                                          �                             � � u 3 +2λ1 �
    ( )
g Tu g Tv
            −1
                 L vu =(2u 2 ,2 )
                                     1
                                          ��
                                               0                1
                                                                         ��
                                                            2u 1 +u 3 �� ��     u 2 ��
                                                                                       � =2u 2 −4λ1 +4u 1 ;
                                     u2   � −u 2
    ( )
g Tu g Tv
            −1
                 L vv g −
                        v gu =
                         1


                  1 � 0             1        �     �        0       u1 +λ1 � � 0  −u 2 �       � 2u 2 �
=(2u 2 ,2)             �                       �   ��                       �� ��          �    ��       �� =
                 u 2 �� −u 2     2u1 +u 3 ��       � u1 +λ1            0 � � 1 2u1 +u 3 ��         � 2 �
=
   4
  u2
       (
     −2u1u 2 −4u12 −2u1u 3 −2λ1u 2 −4λ1u1 −2λ1u 3                                     )
Подставляя значения матриц в формулу для вычисления D, находим
                                                 4
                                                                          (
D =4λ1 −2u 2 −4u 1 −2u 2 +4λ1 −4u 1 − 2u 1u 2 +4u 12 +2u1u 3 +2λ1u 2 +4λ1u 1 +2λ1u 3
                                                u2
                                                                                                                )
                                                                                              112
             D (3, −2, −12, −3, −18 ) =−40 <0 , D (−1 / 3, −26 / 3, −28 / 39,1 / 3, −2 / 9 ) =    .
                                                                                               3
     Следовательно, точка u ∗ =(3,−2,−12) не доставляет минимальное
значение целевой функции, а точка u ∗ =(−1 / 3,−26 / 3,−28 / 39 ) доставляет
минимальное значение целевой функции при заданных ограничениях.

            Пример 2. Минимизировать функцию

                                                          J ( u ) =u 1u 2 u 3 → inf
     при ограничениях
                                                          u 12 +u 22 +u 32 =1 , u 1 +u 2 +u 3 =0 .
    1. Выпишем функцию Лагранжа
                    L( u , λ 0 , λ) =λ 0 u 1u 2 u 3 +λ1 ( u 12 +u 22 +u 32 −1) +λ 2 (u 1 +u 2 +u 3 ) .
    2. Найдем частные производные функции Лагранжа
                                                        ∂L
                                                             =λ 0 u 2 u 3 +2λ1u 2 +λ 2
                                                        ∂u1
                                                        ∂L
                                                             =λ 0 u1u 3 +2λ1u 2 +λ 2
                                                        ∂u 2
                                                        ∂L
                                                             =λ 0 u1u 2 +2λ1u 3 +λ 2
                                                        ∂u 3
    3. Решаем систему

Страницы