Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
4. .s,...,1j,,
10j0
=
µ
λ
≥
Пример 1. Минимизировать функцию
infuuu)u(I
2
3
2
2
2
1
→++= ,
при условиях
5uuu2
321
≤
+
−
,
.3uuu
321
=
+
+
Построим функцию Лагранжа. Она имеет вид
).5uuu2()3uuu()uuu(L
32113211
2
3
2
2
2
10
−+−µ+−++λ+++λ=
Посчитаем частные производные от функции Лагранжа по каждой
переменной и приравняем их к нулю. Получим
02u2
u
L
1110
1
=µ+λ+λ=
∂
∂
, 0u2
u
L
1120
2
=µ−λ+λ=
∂
∂
,
0u2
u
L
1130
3
=µ+λ+λ=
∂
∂
.
Припишем к ним ограничения
0)5uuu2(,3uuu
3211321
=
−
+
−
µ
=
+
+
и тем самым сведем задачу с ограничениями типа неравенств к задаче с
ограничениями типа равенств. Предположим сначала, что 0
0
=
λ
, тогда
получим следующую систему для определения параметров и критических
точек
=−+−µ
=++
=µ+λ
=µ−λ
=
µ
+
λ
.0)5uuu2(
0uuu
0
0
02
3211
321
11
11
11
Отсюда, очевидно , вытекает , что 0
11
=
µ
=
λ
. Этот случай нам не
подходит. Будем предполагать теперь для удобства, что
1
20
=λ . Тогда
система приобретет вид
=−+−µ
=++
=µ+λ+
=µ+λ+
=
µ
+
λ
+
0)5uuu2(
3uuu
0u
0u
02u
3211
321
113
112
111
. 
                                                  22
4. λ0 , µ j≥0 , j =1,..., s1 .

    Пример 1. Минимизировать функцию
                        I(u ) =u 12 +u 22 +u 32 → inf ,
при условиях
                              2u1 −u 2 +u 3 ≤5 ,
                              u1 +u 2 +u 3 =3.
Построим функцию Лагранжа. Она имеет вид
      L =λ 0 (u12 +u 22 +u 32 ) +λ1 ( u1 +u 2 +u 3 −3) +µ1 ( 2u1 −u 2 +u 3 −5).
Посчитаем частные производные от функции Лагранжа по каждой
переменной и приравняем их к нулю. Получим
        ∂L                                 ∂L
             =2λ0 u1+λ1 +2µ1 =0 ,               =2λ0 u 2 +λ1 −µ1 =0 ,
        ∂u1                               ∂u 2
                            ∂L
                                 =2λ 0 u 3 +λ1 +µ1 =0 .
                           ∂u 3
Припишем к ним ограничения
                u1 +u 2 +u 3 =3, µ1 (2u1 −u 2 +u 3 −5) =0
и тем самым сведем задачу с ограничениями типа неравенств к задаче с
ограничениями типа равенств. Предположим сначала, что λ 0 =0 , тогда
получим следующую систему для определения параметров и критических
точек

                                      �          λ1 +2µ1 =0
                                      �            λ1 −µ1 =0
                                      ��
                                      �            λ1 +µ1 =0
                                      �         u1 +u 2 +u 3 =0
                                      �
                                      ��   µ1 (2u1 −u 2 +u 3 −5) =0.

Отсюда, очевидно, вытекает, что λ1 =µ1 =0 . Этот случай нам не
подходит. Будем предполагать теперь для удобства, что λ 0 =12 . Тогда
система приобретет вид

                                 �              u1 +λ1 +2µ1 =0
                                 �              u 2 +λ1 +µ1 =0
                                 ��
                                 �              u 3 +λ1 +µ1 =0      .
                                 �              u1 +u 2 +u 3 =3
                                 �
                                 ��        µ1 (2u1 −u 2 +u 3 −5) =0

Страницы