Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
inf),),(),(( →⋅⋅
100
ttuxJ
(41)
))(),(,()( tutxttx ϕ=
(42)
],,[)(
10
tttUtu ∈∀∈
(43)
,,...,,),),(),((
110
10 mittuxJ
i
=≤⋅⋅
(44)
,,...,,),),(),(( mmittuxJ
i
10
110
+==⋅⋅
(45)
где
1
0
01 0 0 1 1
( ( ), ( ), , ) ( , ( ), ( )) ( , ( ), , ( )), 0,..., .
t
iii
t
Jx u tt ftxtutdt txt txt i m
ψ
⋅⋅ = + =
∫
(46)
Здесь
Δ – заданный конечный отрезок,
Δ
∈
10
tt ,
, RRRRf
rn
i
→××: –
функции
1++ rn переменных, RRRRR
nn
i
→×××ψ : – функции 22 +n пере-
менных,
nrn
RRRR →××ϕ : – вектор-функция 1
+
+
rn переменных, U – про-
извольное множество из
n
R
.
Вектор-функция
)(⋅x – называется фазовой переменной, )(⋅u – управле-
нием. Уравнение (42), называемое дифференциальной связью, должно вы-
полняться во всех точках непрерывности управления
)(⋅u
на интервале
),(
10
tt .
Правило решения
1. Составить функцию Лагранжа:
),...,()),(,),(,())},,()((),,({
m
m
i
ii
t
t
m
i
ii
txttxtdtuxtxtpuxtfL λλ=λψλ+ϕ−+λ=
∑
∫
∑
==
01100
00
1
0
.
2.
Выписать необходимые условия оптимального процесса:
а) стационарности по
x
– уравнение Эйлера:
∑
=
∂
ϕ∂
−
∂
∂
λ=⇔=
∂
∂
−
∂
∂
m
i
i
i
x
tp
x
f
tp
x
L
dt
d
x
L
0
11
0 )()(
, где
∑
=
ϕ−+λ=
m
i
ii
xpfL
0
1
)(
; 
 J 0 ( x(⋅), u (⋅), t 0 , t1 ) → inf                                                                                                (41)
 x� (t ) = ϕ(t , x(t ), u (t ))                                                                                                     (42)
 u (t ) ∈ U ∀t ∈ [t 0 , t1 ],                                                                                                       (43)
 J i ( x(⋅), u (⋅), t 0 , t1 ) ≤ 0, i = 1,..., m1 ,                                                                                 (44)
 J i ( x(⋅), u (⋅), t 0 , t1 ) = 0, i = m1 + 1,..., m,                                                                              (45)

где
                                              t1

                 J i ( x(⋅), u (⋅), t0 , t1 ) = ∫ f i (t , x (t ), u (t ))dt +ψ i (t0 , x(t0 ), t1 , x (t1 )), i = 0,..., m.        (46)
                                              t0




         Здесь Δ – заданный конечный отрезок, t 0 , t1 ∈ Δ , f i : R × R n × R r → R –
функции n + r + 1 переменных, ψ i : R × R n × R × R n → R – функции 2n + 2 пере-
менных, ϕ : R × R n × R r → R n – вектор-функция n + r + 1 переменных, U – про-
извольное множество из R n .
            Вектор-функция x(⋅) – называется фазовой переменной, u(⋅) – управле-
нием. Уравнение (42), называемое дифференциальной связью, должно вы-
полняться во всех точках непрерывности управления u(⋅) на интервале
(t 0 , t1 ) .


                                                           Правило решения

         1. Составить функцию Лагранжа:

           t1 m                                                                 m
      L = ∫ { ∑ λ i f i (t , x, u ) + p(t )( x� − ϕ(t , x, u ))}dt +           ∑ λ i ψ i (t 0 , x(t 0 ), t1 , x(t1 )), λ = (λ 0 ,..., λ m ) .
           t0 i =0                                                             i =0


         2. Выписать необходимые условия оптимального процесса:

               а) стационарности по x – уравнение Эйлера:

                                            ∂L1        d ∂L1                    m  ∂f        ∂ϕ
                                                   −          = 0 ⇔ p� (t ) = ∑ λ i i − p(t ) , где
                                             ∂x        dt ∂x�                 i =0 ∂x        ∂x
                                                                         m
                                                                L1 =     ∑ λ i f i + p( x� − ϕ) ;
                                                                        i =0




                                                                      33

Страницы