Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
Функция Лагранжа имеет вид
∫
λ+−++λ=
4
0
2
0
0)())()(( xdtuxpxuL
, где )(,,, 00
10
2
0
xuxuf =ψ=ϕ=ψ+= .
Запишем
∑
=
∂
ϕ∂
−
∂
∂
λ=
m
i
i
i
x
tp
x
f
tp
0
)()(
, для нашей задачи получаем
0
λ
=)(tp
.
Условия
101
0
,,
)(
)()( =
∂
ψ
∂
λ−=
∑
=
j
tx
tp
m
i
j
i
i
j
j
в нашем случае примут вид
040 =λ= )(,)( pp
.
Далее рассмотрим
**
],[
)(min puupuu
u
−λ=−λ
−∈
2
0
2
011
. Найдем
*
u . Для
этого посчитаем производную выражения
)( puu −λ
2
0
и приравняем ее к ну-
лю. Получим
0
2λ
=
p
u
*
.
Теперь рассмотрим случаи
10
00
=
λ
=
λ
, .
А) Положим
0
0
=λ . Получаем 040 =
λ
=
+
=
)(,)(,)( ppCttp . Откуда выте-
кает, что
const=λ . Нас это не устраивает.
Б) Положим
1
0
=λ . Получаем CppCttp +=
λ
=
+
=
440 )(,)(,)( . Откуда
4−=C , а
4−= ttp )(
.
Значит,
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−−
≤
−−
=
1
2
4
2
4
1
2
4
2
4
tt
sign
tt
tu
,
,
)(
*
.
Поскольку
ux
=
, значит
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤−
≤≤
−
=
201
42
2
4
t
t
t
tx
,
,
)(
. Откуда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤+−
≤≤+−
=
20
422
4
2
1
2
tCt
tCt
t
tx
,
,
)(
.
Из условия
00 =)(x получим, что 0
2
=
C . Из условия непрерывности
в
точке 2=t , получаем
1
1
=C
. Значит,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤−
≤≤+−
=
20
4212
4
2
tt
tt
t
tx
,
,
)(
. 
        Функция Лагранжа имеет вид
              4
         L = ∫ (λ 0 (u 2 + x ) + p( x� − u ))dt + λx(0) , где f 0 = u 2 + x, ψ 0 = 0, ϕ = u , ψ1 = x(0) .
              0

                                m     ∂f i              ∂ϕ
        Запишем p� (t ) = ∑ λ i              − p (t )      , для нашей задачи получаем p� (t ) = λ 0 .
                               i =0   ∂x                ∂x
                                         m         ∂ψ i
        Условия p(t j ) = ( −1) j ∑ λ i                      , j = 0,1 в нашем случае примут вид
                                        i =0      ∂x(t j )
p ( 0) = λ , p ( 4) = 0 .
        Далее рассмотрим min u∈[−1,1] (λ 0 u 2 − pu ) = λ 0 u *2 − pu * . Найдем u * . Для
этого посчитаем производную выражения (λ 0 u 2 − pu ) и приравняем ее к ну-
                             p
лю. Получим u * =                .
                            2λ 0
        Теперь рассмотрим случаи λ 0 = 0, λ 0 = 1 .

      А) Положим λ 0 = 0 . Получаем p(t ) = t + C , p(0) = λ, p( 4) = 0 . Откуда выте-
кает, что λ = const . Нас это не устраивает.
      Б) Положим λ 0 = 1 . Получаем p(t ) = t + C , p(0) = λ, p( 4) = 4 + C . Откуда
C = −4 , а p ( t ) = t − 4 .

                                                                      ⎧ t−4 t−4
                                                                      ⎪⎪        ,        ≤1
                                                              *             2       2
        Значит,                                              u (t ) = ⎨                        .
                                                                       ⎪sign t − 4 , t − 4 > 1
                                                                       ⎪⎩      2       2

                                            ⎧              t−4
        Поскольку x� = u , значит x�(t ) = ⎪⎨ 2 ,2 ≤ t ≤ 4 . Откуда
                                                         ⎪⎩ − 1,0 ≤ t < 2


                                                     ⎧t 2
                                                     ⎪
                                             x(t ) = ⎨ 4 − 2t + C1 ,2 ≤ t ≤ 4 .
                                                     ⎪ − t + C ,0 ≤ t < 2
                                                     ⎩         2


        Из условия x(0) = 0 получим, что C 2 = 0 . Из условия непрерывности
в точке t = 2 , получаем C1 = 1 . Значит,
                                                        ⎧t 2
                                                        ⎪
                                                x(t ) = ⎨ 4 − 2t + 1,2 ≤ t ≤ 4 .
                                                        ⎪⎩   − t ,0 ≤ t < 2
                                                             35

Страницы