ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36
Задача 3.
001
4
7
0
=≤→=
∫
π
)(,inf,sin xxtdtxJ
.
Перепишем задачу в следующем виде, введя управление
0011
4
7
0
=−∈=→=
∫
π
)(,],[,inf,sin xuuxtdtxJ
.
Функция Лагранжа имеет вид
∫
π
λ+−+λ=
4
7
0
0
0)())(sin( xdtuxptxL
, где )(,,sin 0
0
xutxf =ψ=
ϕ
=
.
Запишем
∑
=
∂
ϕ∂
−
∂
∂
λ=
m
i
i
i
x
tp
x
f
tp
0
)()(
, для нашей задачи получаем
ttp sin)(
0
λ=
. Соответственно Cttp
+
λ
−
=
cos)(
0
.
Условия
101
0
,,
)(
)()( =
∂
ψ
∂
λ−=
∑
=
j
tx
tp
m
i
j
i
i
j
j
в нашем случае примут вид
0
4
7
0 =
π
λ= )(,)( pp .
Теперь рассмотрим случаи
10
00
=
λ
=
λ
, .
А) Положим
0
0
=λ
. Получаем 0
4
7
0 =
π
λ== )(,)(,)( ppCtp . Откуда выте-
кает, что
const=λ . Нас это не устраивает.
Б) Положим
1
0
=λ
. Получаем 0
4
7
0 =
π
λ=+−= )(,)(,cos)( ppCttp . Из пер-
вого уравнения получаем
1
+
λ
=C . Из второго
4
7
π
= cosC . Откуда 1
2
2
−=λ , а
2
2
+−= ttp cos)(
.
Далее рассмотрим
*
],[
)(min pupu
u
−=−
−∈ 11
. Найдем
*
u
. Для этого посчита-
ем производную выражения
ppu
u
−
=
′
− )( . Получаем )()(
*
tsignptu = при 0
≠
)(tp .
Задача 3.
7π
4
J= ∫ x sin tdt → inf, x� ≤ 1, x(0) = 0 .
0
Перепишем задачу в следующем виде, введя управление
7π
4
J= ∫ x sin tdt → inf, x� = u , u ∈ [−1,1], x(0) = 0 .
0
Функция Лагранжа имеет вид
7π
4
L= ∫ (λ 0 x sin t + p( x� − u ))dt + λx(0) , где f 0 = x sin t , ϕ = u , ψ = x(0) .
0
m ∂f i ∂ϕ
Запишем p� (t ) = ∑ λi ∂x
− p (t )
∂x
, для нашей задачи получаем
i =0
p� (t ) = λ 0 sin t . Соответственно p(t ) = −λ 0 cos t + C .
m ∂ψ i
Условия p(t j ) = ( −1) j ∑ λ i , j = 0,1 в нашем случае примут вид
i =0 ∂x(t j )
7π
p( 0) = λ , p( ) = 0.
4
Теперь рассмотрим случаи λ 0 = 0, λ 0 = 1 .
7π
А) Положим λ 0 = 0 . Получаем p(t ) = C , p(0) = λ, p( ) = 0 . Откуда выте-
4
кает, что λ = const . Нас это не устраивает.
7π
Б) Положим λ 0 = 1 . Получаем p(t ) = − cos t + C , p(0) = λ, p(
) = 0 . Из пер-
4
7π 2
вого уравнения получаем C = λ + 1 . Из второго C = cos . Откуда λ = − 1, а
4 2
2
p(t ) = − cos t + .
2
Далее рассмотрим min u∈[−1,1] ( − pu ) = − pu * . Найдем u * . Для этого посчита-
ем производную выражения ( − pu )′u = − p . Получаем u * (t ) = signp(t ) при p(t ) ≠ 0 .
36
