Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
б) трансверсальности по
x
:
101101
0
1
,,
)(
)()(,,
)(
)()( =
∂
ψ∂
λ−=⇔=
∂
∂
−=
∂
∂
∑
=
j
tx
tpj
tx
l
t
x
L
m
i
j
i
i
j
j
j
j
j
для терминанта
∑
=
ψλ==
m
i
ii
xtxtxtxtll
0
11001100
),,,(),,,(
;
в) оптимальности по
u
:
00
ˆˆ ˆˆˆ
min ( (, , ) () (, , )) (, , ) () (, , )
mm
uU ii ii
ii
f
txu pt txu ftxu pt txu
λϕλ ϕ
∈
==
−= −
∑∑
или в виде принципа максимума Понтрягина:
ˆˆˆ
max ( , , , ) ( , , , )
uU
H
txup Htxu p
∈
=
, где
0
(,,, ) ()(,,) (,,)
m
ii
i
H
txup pt txu f txu
ϕλ
=
=−
∑
;
г)
1
ˆ
ˆ
() (1) , 0,1
()
j
j
j
l
Ht j
xt
+
∂
=− =
∂
– условия стационарности по
j
t ;
д)
01 1
ˆˆ
ˆˆ
( ( ), ( ), , ) 0, 1,...,
ii
Jx u tt i m
λ
⋅⋅ == – условия дополняющей неже-
сткости;
e)
1
0, 1,...,
i
im
λ
≥= .
3.
Найти )(),( tutx . При этом рассмотреть случаи
00
0, 1
λ
λ
=
= .
Примеры решения задач
Задача 2
.
001
4
0
2
=≤→+=
∫
)(,inf,)( xxdtxxJ
.
Перепишем задачу в следующем виде, введя управление
4
2
0
()inf,,[1,1],(0)0Juxdt xuu x=+→=∈− =
∫
. 
        б) трансверсальности по x :

                ∂L1                         ∂l                                     m    ∂ψ i
                       (t j ) = ( −1) j            , j = 0,1 ⇔ p(t j ) = ( −1) j ∑ λ i            , j = 0,1
                 ∂x�                      ∂x(t j )                               i =0  ∂x ( t j
                                                                                                )
                                                                                m
                           для терминанта l = l (t 0 , x0 , t1 , x1 ) = ∑ λ i ψ i (t 0 , x0 , t1 , x1 ) ;
                                                                               i =0


        в) оптимальности по u :
                       m                                                 m
        min u∈U (∑ λi fi (t , xˆ , u ) − p (t )ϕ (t , xˆ , u )) = ∑ λi f i (t , xˆ , uˆ ) − p (t )ϕ (t , xˆ , u )
                   i =0                                                 i =0


или в виде принципа максимума Понтрягина:

                                     max u∈U H (t , xˆ , u , p ) = H (t , xˆ , uˆ , p ) , где
                                                                               m
                                   H (t , x, u , p ) = p (t )ϕ (t , x, u ) − ∑ λi f i (t , x, u ) ;
                                                                               i =0



                                  ∂ lˆ
        г) Hˆ (t j ) = (−1) j +1          , j = 0,1 – условия стационарности по t j ;
                                 ∂x(t j )

        д) λi J i ( xˆ (⋅), uˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 ) = 0, i = 1,..., m1 – условия дополняющей неже-
         сткости;

        e) λi ≥ 0, i = 1,..., m1 .

     3. Найти x(t ), u(t ) . При этом рассмотреть случаи λ0 = 0, λ0 = 1 .

                                               Примеры решения задач

     Задача 2.
                                           4
                                     J = ∫ ( x� 2 + x )dt → inf, x� ≤ 1, x(0) = 0 .
                                           0


     Перепишем задачу в следующем виде, введя управление

                                      4
                                J = ∫ (u 2 + x)dt → inf, x� = u , u ∈ [−1,1], x(0) = 0 .
                                      0




                                                        34

Страницы