Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БГТУ «ВОЕНМЕХ» | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

102
Величина
u
ö
i
обозначает фильтрованную скорость разрешенного масштаба. Ско-
рость подсеточного масштаба (SGS)
u
0
i
и ширина фильтра 4 задаются как
u
0
i
=
u
i
à
u
ö
i
и
4
=(
4
x
4
y
4
z
)
1
/
3
. (9.19)
Леонард (1974) определил обобщенный фильтр как интеграл свертки:
u
ö
i
(
x
~
,t
)=
⎧
⎭
⎧
⎭
⎧
⎭
G
(
x~
à
ø
~
;
4
)
u
i
(
ø
~
,t
)
d
3
ø
~
. (9.20)
Фильтрующая функция
G
нормализуется с помощью требования
⎧
⎭
⎧
⎭
⎧
⎭
G
(
x~
à
ø
~
;
4
)
d
3
ø
~
=1
. (9.21)
В терминах фильтрующей функции осредненный по объему коробочный фильтр в
уравнении (9.18) определяется как
G
(
x
~
à
ø
~
;
4
)=
è
1
/
4
3
,
0
,
|
x
i
à
ø
i
|
>
4
x
i
/
2
|
x
i
à
ø
i
|
<
4
x
i
/
2
(9.22)
Преобразование Фурье уравнения (9.20) есть
U
ö
i
(
ô, t
)=
g
(
ô
)
U
i
(
ô, t
)
, где
U
i
и
g
представляют преобразования Фурье
u
i
и
G
. Спектральные фурье - методы не-
явно фильтруют с
g
(
ô
;
4
)=0
для |
ô
|
>ô
max
=2
ù/
4. (9.23)
Так, Орзаг и др. (см.Ферзигера (1976)) использовал сокращенный фурье фильтр:
G
(
x
~
à
ø
~
;
4
)=
4
3
1
Π
3
i
=1
(
x
i
à
ø
i
)
/
4
sin(
x
i
à
ø
i
)
/
4
. (9.24)
Фильтр Гаусса (Ферзигер(1976)) популярен в LES исследованиях и определяется как
G
(
x
~
à
ø
~
;
4
)=
(
ù
4
2
6
)
3
/
2
exp(
à
6
4
2
|
x~
i
à
ø
~
i
|
2
)
. (9.25)
Многие другие фильтры предложены и применяются, причем некоторые из них
не являются изотропными или гомогенными. Во всех случаях, однако, фильтр вво-
дит масштаб
4, который представляет наименьший масштаб турбулентности, до-
пустимый фильтром.
Фильтр дает формальное определение процесса осреднения и отделяет спо-
собные к разрешению масштабы от подсеточных. Фильтрация используется, чтобы
вывести уравнения для разрешимых масштабов. Для течения несжимаемой жидко-
сти уравнения неразрывности и Навье-Стокса принимают следующую форму:
∂
x
i
∂
u
ö
i
=0
, (9.26)
∂
t
∂
u
ö
i
+
∂
x
j
∂
(
u
i
u
j
)=
à
ú
1
∂
x
i
∂
p
ö
+
÷
∂
x
k
∂
x
k
∂
2
u
ö
i
. (9.27)
Здесь конвективные потоки задаются с помощью
u
i
u
=
u
ö
i
u
ö
+
L
i
+
C
i
+
R
i
, (9.28)
где
L
i
j
=
u
ö
i
u
ö
j
à
u
ö
i
u
ö
j
,
C
ij
=
u
ö
i
u
0
j
+
u
ö
j
u
0
i
,
R
ij
=
u
0
i
u
0
j
. (9.29)
Заметим, что за исключением сокращенного фурье-фильтра (9.24) фильтрация от-
личается от стандартного осреднения в одном важном аспекте:
u
ö
i
6
=
u
ö
i
, (9.30)
                                                                                                102

Величина    u
            öi   обозначает фильтрованную скорость разрешенного масштаба. Ско-
рость подсеточного масштаба (SGS)        u 0i и ширина фильтра 4 задаются как
      u0i = ui à u
                 öi         и      4 = (4 x4 y 4 z)1/3 .                               (9.19)
Леонард (1974) определил
                 ⎧ ⎧ ⎧ обобщенный фильтр как интеграл свертки:
     u    ~ , t) = ⎭ ⎭ ⎭ G(x
     ö i (x                 ~ à ø~; 4)ui ( ø~, t)d3 ~ø .                               (9.20)

     ⎧ ⎧ ⎧ функция G нормализуется с помощью требования
Фильтрующая
     ⎭ ⎭ ⎭ G(x    ~ à ø~; 4)d3 ø~ = 1 .                                                (9.21)
В терминах фильтрующей функции осредненный по объему коробочный фильтр в
уравнении (9.18) определяется как
                           è 1/43,     |x iàøi|<4x i/2
        ~ à ø~; 4) =
      G(x                                                                              (9.22)
                             0,        |x iàøi|>4x i/2
Преобразование Фурье уравнения (9.20) есть U   ö i (ô, t) = g(ô)U i (ô, t) , где U i и
g представляют преобразования Фурье u i и G . Спектральные фурье - методы не-
явно фильтруют с
      g(ô; 4) = 0        для | ô |> ô m ax = 2ù/4 .                            (9.23)
Так, Орзаг и др. (см.Ферзигера (1976)) использовал сокращенный фурье фильтр:
                     1    3        i   isin(x àø )/4
        ~ à ø~; 4) = 43 Π i =1 (x àø )/4
      G(x                                                  .                           (9.24)
                                 i   i
Фильтр Гаусса (Ферзигер(1976)) популярен в LES исследованиях и определяется как
                               6 3/2                       ~ iàø~i| 2
                                                          |x
        ~ à ø~; 4) =
      G(x                   ( ù4 2)  exp( à          6       42
                                                                      ).               (9.25)
    Многие другие фильтры предложены и применяются, причем некоторые из них
не являются изотропными или гомогенными. Во всех случаях, однако, фильтр вво-
дит масштаб 4 , который представляет наименьший масштаб турбулентности, до-
пустимый фильтром.
    Фильтр дает формальное определение процесса осреднения и отделяет спо-
собные к разрешению масштабы от подсеточных. Фильтрация используется, чтобы
вывести уравнения для разрешимых масштабов. Для течения несжимаемой жидко-
сти уравнения неразрывности и Навье-Стокса принимают следующую форму:
                       ∂u
                        öi
                       ∂x i
                            = 0,                                     (9.26)
      ∂u
       öi                             ∂pö          ∂ 2u
                                                      ö
      ∂t
            + ∂x∂ j (u i u j ) = à 1ú ∂x i
                                           + ÷      i
                                               ∂x k∂x k
                                                        .                              (9.27)
Здесь конвективные потоки задаются с помощью
      u iu j = u
               ö iu
                  ö j + L ij + C ij + R ij ,                                           (9.28)
где
      L ij = u
             ö iu
                öj à u  öj,
                     ö iu                ö i u 0j + u
                                   Cij = u          ö j u0i ,       R ij = u0i u0j .   (9.29)
Заметим, что за исключением сокращенного фурье-фильтра (9.24) фильтрация от-
личается от стандартного осреднения в одном важном аспекте:
                  öi,
            ö i 6=u
            u                                                       (9.30)

Страницы