Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 103 стр.

                                                                                            103

т.е. двойное осреднение дает результат отличный от одинарного. Тензоры
L ij , Cij и R ij называются соответственно напряжениями Леонарда, перекрест-
ными напряжениями и SGS-рейнольдсовыми напряжениями.
     Леонард (1974) показал, что член напряжений Леонарда удаляет значительную
энергию из разрешимых масштабов. Он может быть рассчитан непосредственно и не
требует моделирования. Иногда это неудобно, однако, в зависимости от использо-
ванного численного метода. Леонард также продемонстрировал, что, поскольку u
                                                                           öi -
гладкая функция, L ij может быть рассчитан в терминах разложения его в ряды
Тейлора, первый член которого       ⎧⎧⎧
                í
      L ij ù 2l∇2(uöiuöj) ,            íl = ⎭ ⎭ ⎭ | ø~ |2 G( ø~)d3 ø~.             (9.31)
Кларк и др.(1979) определили, что это представление очень точно при низких числах
Рейнольдса в сравнении с результатами DNS. Однако, как показано Шананом, Фер-
зигером и Рейнольдсом (1975), леонардовские напряжения того же порядка, что и
ошибка отбрасывания при использовании конечно-разностной схемы второго поряд-
ка точности и они, таким образом, неявно представляются.
    Тензор напряжений перекрестных членов C ij также забирает значительную
энергию из разрешимых масштабов. Разложение, подобное (9.31), может быть вы-
полнено для C ij . Однако наибольшие усилия при моделировании прилагаются к
сумме C ij и R ij . Ясно, что точность LES зависит во многом от модели, используе-
мой для указанных членов.
    Уравнение (9.27) может быть переписано в обычную форму:
      ∂u
       öi                                              ∂u
                                                        ö
      ∂t
            + ∂x∂ j (u i u j ) = à 1ú ∂x
                                      ∂P
                                         i
                                           +  ∂
                                             ∂x j
                                                  [ ÷    i
                                                      ∂x j
                                                           + ü ij ] ,              (9.32)
где
      üij = à (Q ij à 13 Q kk îij ) , P = pö + 13 úQ kk îij , Q ij = Rij + Cij .   (9.33)
В этом месте становится очевидной фундаментальная проблема моделирования
крупных вихрей. Необходимо установить удовлетворительную модель для SGS на-
пряжений, которые представлены тензором Q ij . Различные попытки развить такую
модель предпринимаются на протяжении последних четырех десятилетий. Так, пер-
вые модели постулировались в диапазоне от простых градиентно-диффузионных
(Смагоринский (1963)) к моделям с одним уравнением (Лилли(1966)) и к аналогам
моделей замыкания второго порядка (Дирдорф(1973)). Нелинейные соотношения
между скоростями напряжений и деформаций постулировались Бардиной, Ферзиге-
ром и Рейнольдсом (1983).
Б. Моделирование подсеточного масштаба (SGS)
    Смагоринский (1963) первым постулировал модель для SGS-напряжений. Пред-
полагается, что SGS-напряжения подчиняются градиентно-диффузионным процес-
сам, подобным молекулярному движению. Следовательно,
                                ∂uö i   ∂uöj
       üij = 2÷tS ij, S ij = 12(∂x j
                                      +      )
                                        ∂ xi ,                        (9.34)
где S ij называется разрешимой скоростью деформаций, ÷ t - вихревая вязкость
Смагоринского       p
      ÷ t = (C s4)2 S ijS ij                                          (9.35)
и C s - коэффициент Смагоринского. Заметим, что уравнение (9.35) близко по форме
к формуле для вихревой вязкости с длиной смешения C s 4 . Очевидно, что масштаб
                                 1/3
сетки 4 или (4 1 4 2 4 3 ) , если шаги сетки в трех направлениям различны, яв-
ляется общим масштабом SGS движения. Принимая во внимание уменьшение под-