Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 18 стр.

                                                                                   18

Впервые такой подход был предложен Поупом (1975), а в дальнейшем получил раз-
витие в работах Спезайла (Speziale).
               4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

    Алгебраические модели принадлежат к простейшим типам моделей турбулент-
ности, в которых связь между турбулентной вязкостью и параметрами осредненного
потока задается алгебраическими соотношениями. Отсюда следуют достоинства
моделей такого типа: вычислительная эффективность, простота калибровки и мо-
дификаций с учетом специфики рассматриваемых течений. Однако очевидна и узкая
специализация этих моделей, поскольку они опираются на априорную (эмпириче-
скую) информацию о структуре конкретного рассматриваемого течения. Расширен-
ное использование алгебраических моделей для других типов течений подчас не-
возможно в принципе (поскольку, например, опираясь на структурные кинематиче-
ские характеристики пограничного слоя, такие как толщина вытеснения и потери им-
пульса, скорость на внешней границе пограничного слоя, нельзя анализировать те-
чения, для которых указанные характеристики не определены). Кроме того, алгеб-
раическая формулировка моделей обусловливает их мгновенную реакцию на изме-
нения параметров и условий на границах пограничного слоя.
    Тем не менее, алгебраические модели турбулентной вязкости многие десятиле-
тия были основным инструментом расчета турбулентных сдвиговых течений.

                      4.1. Модель пути смешения Прандтля

    Модель для описания распределения ÷ t впервые была предложена
Л.Прандтлем в 1925г. и известна как модель пути смешения. Доказано, что она до-
вольно хорошо воспроизводит тонкие вязкие слои. Рассматривая осредненные сдви-
говые течения без градиента давления, Прандтль постулировал, что характерный
масштаб пульсаций скорости b v равен градиенту осредненной скорости, умноженно-
му на характерный масштаб длины l m , который он назвал путем смешения.
    Следуя И.П.Гинзбургу [ 7 ], получим выражения коэффициентов турбулентной
вязкости и теплопроводности.
    Возьмем два слоя жидкости на расстоянии l m друг от друга (среднее расстоя-
ние пульсаций). Истинные скорости в этом случае
                         v x = v x + v 0x ;          v y = v 0y.
   Вследствие пульсаций составляющей скорости        v 0y имеет место турбулентное
перемешивание (перенос количества движения и тепла). Действительно, через еди-
ничную площадку, перпендикулярную оси y , в единицу времени переносится масса
жидкости úv 0y . Находясь в первом слое, она имела количество движения úv 0y v x . Во
                                                           ∂v x
втором слое ее количество движения стало úv 0y (v x + l m ∂y ) .
   Таким образом, вследствие наличия пульсаций изменение количества движения
обусловливает напряжение турбулентного трения
                                   ü txy = úv 0yl m ∂v
                                                    ∂y
                                                       x
                                                         .
   Путь смешения (или перемешивания) l m определяется таким образом, чтобы
                                     v 0x = l m ∂v
                                                ∂y
                                                   x


                                        t        2 ∂v x 2
   Предполагая v 0x ø v 0y , получаем ü xy = úl m ( ∂y ) . Следовательно,