Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 68 стр.

                                                                                                                   68

отпадает необходимость весьма трудоемкого разрешения акустических процессов,
не имеющих принципиального значения в рассматриваемых задачах. Расчет движе-
ния газовой смеси основывается на системе полных, осредненных по Рейнольдсу
трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, дополненных уравнениями
для выражения законов сохранения отдельных газовых компонент и энергии с уче-
том как ламинарного, так и турбулентного характера течения смеси в целом.
    Исходные уравнения. Искомыми функциями являются три компоненты вектора
скорости uj, давление p, энтальпия смеси h, массовые доли газовых компонент Ym ,
кинетическая энергия турбулентности k и скорость диссипации турбулентности ε.
Предполагается, что газовая смесь состоит из N компонентов (таких как O2, N2, H2O,
CO2, CH4, CO и др.). Основные расчетные уравнения относительно осредненных по
Фавру искомых функций имеют следующий вид:
∂ρ ∂ρu j
   +      = 0,
∂t ∂x j
∂ρY    ∂ρY u
   α +     α j    ∂ ⎛⎜ µ µ t ⎞⎟ ∂Yα
               =        +           + ρR ,
 ∂t      ∂x      ∂x ⎜ Sc Sc ⎟ ∂x        α
                   j                 j⎝            t⎠               j
∂ρu i ∂ρu i u j    ∂P ∂σ ij
     +          =−     +      + ρg i ,
 ∂t    ∂x j        ∂x i ∂ x j
∂ρH ∂ρHu j              ∂ ⎛ µ µ t ⎞ ∂ H ∂q j
                                                r

       +            =       ⎜   +     ⎟     +     .
 ∂t        ∂x j       ∂x j ⎜⎝ Pr PrT ⎟⎠ ∂x j ∂x j
                      ρ
     Здесь Yα = α - массовая доля компонентов, ρ = ∑ ρ α - плотность смеси,
                      ρ                                           α

                  ⎛ ∂u ∂u ⎞ 2 ⎛                        ⎛ ∂u ⎞ ⎞
σ ij = (µ + µ t )⎜⎜ i + j ⎟⎟ − δ ij ⎜⎜ ρk + (µ + µ t )⎜⎜ k ⎟⎟ ⎟⎟
                  ⎝ ∂x j ∂ x i ⎠ 3 ⎝                   ⎝ ∂x k ⎠ ⎠
- тензор вязких и турбулентных напряжений,
                     ⎛ 0 T                  ⎞
H = ∑ Yα H α = ∑ Yα ⎜⎜ H α + ∫ C Pα (T )dT ⎟⎟
    α          α     ⎝       T0             ⎠
- энтальпия единицы массы смеси. Зависимость удельной теплоемкости компонен-
тов от температуры аппроксимирована полиномами второй степени в интервале
температуры 298.15 – 2500 K:
C Pα (T ) = C Pα
                   (0 )
                          + C Pα
                                   (1)
                                         (T − T ) + C
                                               0
                                                        Pα
                                                             (2 )
                                                                    (T − T ) ,
                                                                          0 2


где T 0 = 298.15 K .
       Для расчета плотности газовой смеси используется уравнение состояния
                                                                                 −1
                    R               ⎛ Y                                          ⎞
идеального газа P =   ρT , где M = ⎜⎜ ∑ α                                        ⎟⎟ - молярная масса смеси. В прибли-
                    M               ⎝ α Mα                                        ⎠
жении существенно дозвукового течения полагается, что P = P0 = const в уравнении
состояния (но не в уравнении движения). В результате уравнение неразрывности
трансформируется к виду
∂u j   1 ⎛ ∂ρ      ∂ρ ⎞⎟
     =− ⎜      +uj         ,
∂x j   ρ ⎜⎝ ∂t     ∂x j ⎟⎠
где правая часть вычисляется с использованием текущего поля температуры (low
Mach number model).