Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 97 стр.

                                                                                97

размеров вихрей. Однако результаты численного моделирования часто характери-
зуются в терминах микромасштабного числа Рейнольдса, определенного с помо-
щью
       Re õ = k 1/2õ/÷ .                                               (9.7)
Подстановка для õ из (9.4) ведет к
       Re õ ø (k 1/2L ε/÷) 1/2 ,                                       (9.8)
            3/2
где L ε ñ k /ε - масштаб длины      диссипации, действительно типичный масштаб
длины сдвигосодержащего движения, используемый неявно во всех двухпараметри-
ческих моделях. L ε одного порядка с l , что следует из уравнения (9.8). Тогда
                    à1   /2
          Re õ ø Re t         .                                        (9.9)
Таким образом, хотя õ и не является очень значимым масштабом длины, Reõ
представляется альтернативным числу Рейнольдса для энергосодержащих вихрей.
Окончательно время обращения вихря является отношением макромасштабов дли-
ны   l   или L ε к скорости k1/2 и задается с помощью
          üt ø l/k1/2 ø L ε/k1/2 .                                      (9.10)
Время обращения вихря измеряется временем, которое требуется вихрю, чтобы
провзаимодействовать с окружащей его средой. Как можно видеть из определения
L ε , этот параметр является также обратной величиной скорости удельной диссипа-
ции: ω ø ε/k .
     Второе важное обстоятельство – это спектральное представление турбулентных
свойств, которое заменяет идею «размера вихря» (см. введение). Если ô обознача-
                                       e (e
ет волновое число, определяемое как 2ù/õ  õ − длина волны), а E(ô)dô − турбу-
лентная кинетическая энергия, содержащаяся между волновыми числами ô и
ô + dô , можно записать
                    ⎧         ∞
          k ñ 12 u 0i u 0i = ⎭ E(ô)dô .                                (9.11)
                              0
Вспомним, что k является половиной от суммы диагональных членов автокорреля-
ционного тензора Rij при нулевом времени задержки (6.28). Следовательно, спек-
тральная плотность энергии или спектральная функция энергии E(ô) относится к
преобразованию Фурье от половины суммы диагональных членов Rij . Вообще
спектральное представление рассматривается как разложение по волновым числам
ô . В качестве «размера вихря» рассматривается обратная величина ô , причем ма-
лые величины ô ассоциируются с размерами крупных вихрей, и наоборот. Конечно,
турбулентность не является суперпозицией простых волн; любое определение «вих-
ря», основанное на картине течения, будет охватывать весь диапазон волновых чи-
сел и поэтому приблизительно. Однако определение спектральной плотности и свя-
занный с ним анализ являются точными.
    Снова используя анализ размерностей, покажем, что для волновых чисел доста-
точно малых, чтобы вязкость не оказывала влияние на движение, но достаточно
больших, чтобы полная размерность потока, такая как толщина пограничного слоя,
не имеет значения:
          E (ô) = Côε2/3 ôà 5/3 , 1/l ü ô ü 1/ñ ,                       (9.12)
где C ô - константа Колмогорова. Это известный закон Колмогорова (-5/3), который
характеризует инерционный участок. Рис.41 показывает типичный энергетический
спектр для турбулентного течения.