Физика. Ч.1. Белякова В.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

34 35
Рассмотрим несколько частных случаев:
1. Частоты одинаковы, начальные фазы отличаются на mp, т. е.
p
=
j
-
j
m
1
2
, где (m = 0, ±1, ±2...). В этом случае эллипс превращается
в прямую,
X
A
A
Y
1
2
±=
, где знак (+) соответствует нулю и чётным значе-
ниям m (рис. 4.6, а), знак (–) – нечётным m (рис. 4.6, б).
y
a
m = 0,
±
2,
±
4,…
B
–A
A
x
–B
q
Рис. 4.6
Результирующее колебание является гармоническим с частотой
0
w
и амплитудой, равной
2
2
2
1
АА +
, и происходит вдоль прямой, составля-
ющей угол q с осью X .
2. Частоты колебаний одинаковы. Фазы отличаются на число,
кратное p/2.
,
2
π
)12(
12
+=j-j m
где (m = 0, ± 1, ± 2...
Результирующее колебание в этом случае происходит по эллипсу:
,1
2
2
2
2
1
2
=+
A
Y
A
X
а при равенстве амплитуд – по кругу.
3. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных коле-
баний различны, то траектория результирующего колебания довольно
сложна. Эти траектории называются фигурами Лиссажу. В зависимос-
ти от соотношения частот и разности фаз меняется форма кривых Лис-
сажу.
В измерительной технике фигуры Лиссажу широко используются
для измерения соотношений частот и разности фаз складывающихся
колебаний.
4. 5. Затухающие колебания
Рассмотрим свободные затухающие колебания, амплитуда кото-
рых вследствие потерь энергии (трения) и превращения в теплоту умень-
шается с течением времени.
Дифференциальное уравнение, описывающее процесс затухающих
колебаний, имеет вид
,0ω
d
d
β2
d
d
2
0
2
2
=++ X
t
X
t
X
(4.29)
где
m
r
2
β =
– коэффициент затухания;
mk /
2
0
=w
– собственная частотата
системы,
r
– коэффициент сопротивления среды.
Решение уравнения (4.29) имеет вид
),cos(e
β
j+w=
-
tAX
t
(4.30)
где
t
t
AA
β
e
-
=
– амплитуда затухающего колебания, которая убывает
с течением времени по экспоненциальному закону; А
0
– начальная
амплитуда;
22
0
b-w=w
– циклическая частота затухающего колебания.
График зависимости Х от t представлен на рис. 4.7.
Период затухающих колебаний определяется как
.
π2
π2
22
0
b-w
=
w
=T
(4.31)
Логарифм отношения амплитуд двух последовательных колеба-
ний, отличающихся по времени на период, носит название логарифми-
ческого декремента затухания и выражается в виде
.
e
e
ln
)(
)(
ln
)β(
0
β
0
T
A
A
TtA
tA
Tt
t
b==
+
=D
+-
-
(4.32)
m = 0, ±1, ±3,…
y
б
x
B
–B
A
–A
q

Страницы