Составители:
Рубрика:
36 37
X, A
A
0
T
t
A
1
A
2
A = A
0
e
–
b
t
x = A
0
e
–
b
t
cos (
w
t +
j
)
Рис. 4.7
Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного
маятника. Ускорение маятника обеспечивают сила упругости
kX
F
-
=
и сила сопротивления
rv
F
-
=
. Согласно второму закону Ньютона
уравнение движения будет иметь вид
.
rv
kX
ma
-
-
=
(4.33)
Преобразуя (4.33), получим уравнение (4.29).
Из решения уравнения (4.29) следует, что маятник колеблется с
частотой
.
4
2
2
2
0
m
r
-w=w
(4.34)
Период колебаний маятника определяется как
.
4
π2
2
2
2
0
m
r
T
-w
=
(4.35)
4. 6. Вынужденные колебания. Резонанс
Чтобы в реальной системе колебания не затухали, необходимо ком-
пенсировать потери энергии путем периодического воздействия внеш-
ней вынуждающей силой, которая также изменяется по гармоническо-
му закону
.cos
0
tFF
W
=
(4.36)
С учетом этой силы, например, для пружинного маятника уравнение
движения (4.33) примет вид
.cos
0
tFrvkXma
W
+
-
-
=
(4.37)
Или после преобразования (4.37) получим
.cosω
d
d
2
d
d
0
2
0
2
2
t
m
F
t
X
t
X
W=+b+
(4.38)
Общее решение неоднородного уравнения (4.38) состоит из об-
щего решения однородного уравнения, которое получено выше (4.30),
и частного решения, которое имеет вид
).
cos(
j
-
W
=
t
A
X
(4.39)
Решение (4.38) показывает, что если на колеблющееся тело
действует периодическая сила, изменяющаяся с частотой , то тело
совершает колебания с той же частотой, причем амплитуда и начальная
фаза будут зависеть от амплитуды и частоты внешней силы,
коэффициента затухания, упругих свойств системы и массы. В силу этого
слагаемое, отражающее общее решение однородного дифференциального
уравнения (4.30), будет играть существенную роль только в начальной
стадии процесса, пока амплитуда не достигнет значения
,
4)(
22222
0
0
bW+W-W
=
f
A
(4.40)
где
./
00
mFf
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
