Составители:
Рубрика:
8 9
Это выражение справедливо для замкну-
той поверхности любой формы. Если окружить
сферу (см. рис. 1.5) произвольной замкнутой
поверхностью, то каждая линия напряженнос-
ти, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту
поверхность.
Поток считается положительным, если
линии напряженности выходят из поверхнос-
ти, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкну-
тая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю,
так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно
числу линий напряженности, выходящих из нее.
Для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает
в себе точечный заряд Q, поток вектора напряженности будет
ò ò
===
S
S
nE
QSESE
.0
ε/ddФ
r
(1.11)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружаю-
щей n зарядов. Согласно принципу суперпозиции напряженность
E
r
поля,
создаваемого всеми зарядами,
å
=
=
n
i
i
EE
1
rr
, поэтому
.dddФ
11
å
òò
å
ò
==
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==
n
i
i
i
S
n
i
i
S
E
SESESE
rrr
(1.12)
Используя формулу (1.11), получим
.
1
dd
1
0
å
òò
=
e
==
n
i
i
S
n
S
QSESE
rr
(1.13)
Формула (1.13) выражает теорему Гаусса для электростатичес-
кого поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического
поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен ал-
гебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов,
деленной на
0
ε
.
Q
Рис. 1.5
1.6. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых
электростатических полей в вакууме
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Беско-
нечная плоскость (рис. 1.6) заряжена с постоянной поверхностной
плотностью
S
Q
d
d
σ(σ =+
– заряд, приходящийся на единицу поверх-
ности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой
плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой
поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны
заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие
цилиндра параллельны линиям напряженности (
0
cos
=
a
), то поток
вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен
нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его
основания (площади оснований равны и для основания Е
n
совпадает
с Е), т. е. равен 2 ES.
Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверх-
ности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (1.13),
0
ε/σ2 SES
=
, откуда
).ε2/(σ
0
=
E
(1.14)
Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных
плоскостей (рис. 1.7). Пусть плоскости заряжены равномерно
разноименными зарядами с поверхностными плотностями +s и –s. Поле
таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой
из плоскостей в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля
компенсируют друг друга, поэтому здесь напряженность поля Е = 0. В
области между плоскостями
-
+
+= EEE
r
r
r
(
-
+
EE и
определяются по
формуле (1.14)), поэтому результирующая напряженность
.ε/σ
0
=
E
(1.15)
E
s
Рис. 1.6 Рис. 1.7
E = 0 E = 0
0
e
s
=E
+
s
–
s
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
