Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 13 стр.

     Выделим в данной матрице произвольные К строк и К столбцов. Эле-
менты, стоящие на пересечении К строк и К столбцов, образуют квадратную
матрицу порядка К.
     Минором К-го порядка матрица А называется определитель квадратной
матрицы, получающаяся из данной матрицы вычислением произвольных К
строк и К столбцов.
                                              Одним из миноров 2-го порядка
Например: для матрицы А


является определитель


      Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры 1-го порядка.
      Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля
минора згой матрицы, т.е. если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы
есть по крайней мере один минор r-го порядка, отличный от нуля, в то время как все
ее миноры порядка r+1 и выше равны нулю. Ранг матрицы А обозначают r(А).
 Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к возможно более простому
виду с помощью элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями
матрицы называются следующие преобразования:
1. Перестановка двух строк (столбцов).
2. Умножение всех элементов строки (столбца) на любое число С ≠ 0.
3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же
число.
4. Удаление нулевой строки (столбца).
      Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.
      Теорема. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно
привести к трапецевидному виду:




                          Причем ранг трапецевидной матрицы равен r, а значит и
                        ранг исходной матрицы равен r.