Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 15 стр.

Затем над строками и столбцами матрицы производят элементарные преобразования.
      Разрешается производить следующие элементарные преобразования строк
расширенной матрицы: изменять порядок строк (что соответствует изменению
порядка уравнений); умножать строки на любые, не равные нулю, числа (что
соответствует умножению уравнений на эти числа); прибавлять к любой строке
матрицы любую другую строку, умноженную на любое число (что соответствует
прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на это
число). Допускается также перестановка столбцов, стоящих до черты. С помощью
таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы,
равносильной данной. При этом стараются привести расширенную матрицу к
возможно более простому виду, из которого легко найти решение системы. Причем
указанные элементарные преобразования не меняют как ранг расширенной матрицы,
так и ранг матрицы системы.
Пример. Решить систему методом Гаусса:

    ⎧ x1 − 2 x2 + 3 x3 = 2
    ⎪
    ⎨2 x1 − 3 x2 + 7 x3 = 7                     (4.1)
    ⎪3 x − 4 x + 5 x = 6
    ⎩ 1        2      3

Будем преобразовывать расширенную матрицу системы




     Первый шаг: в этой матрице первую строку оставляем без изменения и из 2-й
строки вычитаем первую строку, умноженную на 2, а из 3-й строки вычитаем первую
строку умноженную на 3 получаем 2-ю матрицу. Второй шаг: во 2-й матрице 1-ю и 2-
ю строки оставляем без изменения и из 3-й строки вычитаем 2-ю, умноженную на 2.
Элементы матрицы, с помощью которых получены нули, называются ведующими
(взяты в рамочку). От последней расширенной матрицы перейдем к системе:


                                        (4.2)