Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

Из системы (4.2) легко найти неизвестные: находим x
3
= 1 из третьего уравнения,
затем x
3
= 2 из второго уравнения и x
1
= 3 из первого уравнения. Система (4.2)
равносильна данной системе (1), следовательно, данная система имеет единственное
решение (3;2;1). Заметим, что расширенная матрица данной системы привелась к
треугольному виду и ранг системы равен рангу расширенной матрицы системы и
равен 3.
Пример. Решить систему:
Нулевую строку можно удалить, то есть ей соответствует уравнение
0x
1
+ 0х
2
+ 0х
3
+ 0x
4
= 0, имеющее решение при любых x
1
, x
2
, x
3
, x
4
.
От расширенной матрицы перейдем к системе
которая равносильна данной системе (4.3). Из второго уравнения системы (4.4)
выразим х
2
: х
2
= 7 + 7x
3
+ 4x
4
.
Выражение для x
2
подставим в первое уравнение и найдем x
1
= -10x – 11x
3
– 9x
4
.
Совокупность выражений:
x
1
= -10 – 11x
3
– 9x
4
x
2
= 7 + 7x
3
+ 4х
4
называется общим решением системы, общее решение охватывает все решения
системы, неизвестные x
3
, x
4
называются свободными, они могут принимать любые
значения. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Заметим,
что в данном случае матрица системы привелась к трапецевидному виду и ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум.
Пример. Решить систему:
(
4.3
)
7
4
4
7
3
2
4
4
3
3
2
2
1
−
=
=
+
+
+
−
⎩
⎨
⎧
+
x
x
x
x
x
x
x
(
4.4
)
     Из системы (4.2) легко найти неизвестные: находим x3 = 1 из третьего уравнения,
затем x3= 2 из второго уравнения и x1 = 3 из первого уравнения. Система (4.2)
равносильна данной системе (1), следовательно, данная система имеет единственное
решение (3;2;1). Заметим, что расширенная матрица данной системы привелась к
треугольному виду и ранг системы равен рангу расширенной матрицы системы и
равен 3.
Пример. Решить систему:


                                                 (4.3)




     Нулевую строку можно удалить, то есть ей соответствует уравнение
0x1+ 0х2+ 0х3+ 0x4 = 0, имеющее решение при любых x1, x2, x3, x4.
     От расширенной матрицы перейдем к системе
⎧ x1 + 2 x2 − 3 x3 + x4 = 4
⎨                                            (4.4)
⎩       x2 + 7 x3 + 4 x4 = − 7
которая равносильна данной системе (4.3). Из второго уравнения системы (4.4)
выразим х2 : х2 = 7 + 7x3 + 4x4.
      Выражение для x2 подставим в первое уравнение и найдем x1 = -10x – 11x3 – 9x4.
Совокупность выражений:
x1 = -10 – 11x3 – 9x4
x2= 7 + 7x3 + 4х4
называется общим решением системы, общее решение охватывает все решения
системы, неизвестные x3, x4 называются свободными, они могут принимать любые
значения. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Заметим,
что в данном случае матрица системы привелась к трапецевидному виду и ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум.
Пример. Решить систему:

Страницы