Составители:
Рубрика:
Все собственные векторы с собственным значением λ = 6 лежит в этой плоскости.
Нормальный вектор плоскости
f
2
= (1 ;-2;-2) будет собственным с собственным
значением λ = -3 (собственные векторы с разными собственными значениями
ортогональны). Найдем одно из решений уравнения (4), например
f
1
= (2;-1;2) -
это будет второй собственный вектор. Третий собственный вектор ортогональный
первым двум найдем как векторное произведение
f
3
=
f
1
x
f
2
=
Векторы
f
1
,
f
2
,
f
3
нормируем и получим искомый ортонормированный
базис:
В указанном базисе матрица будет диагональной:
§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с
помощью ортогональной матрицы
Определение. Квадратичной формой от трех переменных называется функция
вида:
φ (х
1
, х
2
, х
3
) =а
11
x
1
2
+ а
22
x
2
2
+ а
33
x
3
2
+ 2а
12
x
1
x
2
+ 2а
13
x
1
x
3
+ + 2 а
23
x
2
x
3
(1)
Определение. Матрицей квадратичной формы называется матрица:
причем а
12
= a
21
, а
13
= a
31
, a
23
= а
32
, то есть матрица симметрична.
Переменные (x
1
, х
2
, х
3
) будем рассматривать как координаты векторов в
евклидовом пространстве относительно ортонормированного базиса
e
1
,
e
2
,
e
3
.
Матрицу квадратной формы будем рассматривать как матрицу симмет-
рического линейного преобразования в этом базисе. От базиса
e
1
,
e
2
,
e
3
перейдем к новому ортонормированному базису
e
1
,
e
2
,
e
3
, векторы которого
являются собственными векторами указанного линейного преобразования
Все собственные векторы с собственным значением λ = 6 лежит в этой плоскости.
Нормальный вектор плоскости f 2 = (1 ;-2;-2) будет собственным с собственным
значением λ = -3 (собственные векторы с разными собственными значениями
ортогональны). Найдем одно из решений уравнения (4), например f 1 = (2;-1;2) -
это будет второй собственный вектор. Третий собственный вектор ортогональный
первым двум найдем как векторное произведение f 3 = f 1 x f 2 =
Векторы f 1, f 2, f 3 нормируем и получим искомый ортонормированный
базис:
В указанном базисе матрица будет диагональной:
§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с
помощью ортогональной матрицы
Определение. Квадратичной формой от трех переменных называется функция
вида:
φ (х1, х2, х3) =а11 x12 + а22 x22+ а33 x32+ 2а12 x1x2 + 2а13 x1x3 + + 2 а23 x2x3 (1)
Определение. Матрицей квадратичной формы называется матрица:
причем а12 = a21, а13 = a31, a23= а32, то есть матрица симметрична.
Переменные (x1, х2, х3) будем рассматривать как координаты векторов в
евклидовом пространстве относительно ортонормированного базиса e 1 , e 2 , e 3.
Матрицу квадратной формы будем рассматривать как матрицу симмет-
рического линейного преобразования в этом базисе. От базиса e 1 , e 2 , e 3
перейдем к новому ортонормированному базису e 1 , e 2 , e 3, векторы которого
являются собственными векторами указанного линейного преобразования
