Составители:
Рубрика:
соответственно с собственными значениями λ
1
, λ
2
, λ
3
; Разложим векторы
e
'
1
,
e
'
2
,
e
'
3
по векторам
e
1
,
e
2
,
e
3
:
Матрица перехода от первого базиса ко второму имеет вид:
Матрица В обладает свойствами: В - В
т
= Е, где В
т
матрица транспонированная по
отношению к В; Е - единичная матрица. Матрицы, обладающие указанным
свойством, называются ортогональными. Выразим координаты вектора (x
1
,x
2
,x
3
) в
первом базисе через координаты вектора (x
1
, х
2
, х
3
) во втором базисе:
Если выражения из равенств (2) подставить в выражения (1), то квадратная
форма примет вид:
(3)
где - собственные значения
линейного пространства.
Указанный вид квадратичной формы называется каноническим. Таким
образом, с помощью ортогональной матрицы квадратичную форму всегда можно
привести к каноническому виду. Существуют и другие способы приведения
квадратичных форм к каноническому виду.
Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду:
Решение. Найдем матрицу квадратичной формы:
Для данной матрицы все вычисления сделаны в примере 1§2: λ
1
=3, λ
1
=6,
λ
1
=-2 и, следовательно, канонический вид квадратичной формы: φ(x
1
, x
2
, x
3
) =
= 3x
1
2
+ 6x
2
2
– 2x
3
2
Преобразования переменных, приводящие квадратичную форму к кано-
ническому виду: (см. формулу (2.2) §2).
(2)
соответственно с собственными значениями λ 1, λ 2, λ 3; Разложим векторы e '1, e '2
, e '3 по векторам e 1 , e 2 , e 3:
Матрица перехода от первого базиса ко второму имеет вид:
Матрица В обладает свойствами: В - Вт = Е, где Вт матрица транспонированная по
отношению к В; Е - единичная матрица. Матрицы, обладающие указанным
свойством, называются ортогональными. Выразим координаты вектора (x1,x2,x3) в
первом базисе через координаты вектора (x1, х2, х3 ) во втором базисе:
(2)
Если выражения из равенств (2) подставить в выражения (1), то квадратная
форма примет вид:
(3)
где - собственные значения линейного пространства.
Указанный вид квадратичной формы называется каноническим. Таким
образом, с помощью ортогональной матрицы квадратичную форму всегда можно
привести к каноническому виду. Существуют и другие способы приведения
квадратичных форм к каноническому виду.
Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду:
Решение. Найдем матрицу квадратичной формы:
Для данной матрицы все вычисления сделаны в примере 1§2: λ1=3, λ1=6,
λ1=-2 и, следовательно, канонический вид квадратичной формы: φ(x1, x2, x3) =
= 3x12 + 6x22 – 2x32
Преобразования переменных, приводящие квадратичную форму к кано-
ническому виду: (см. формулу (2.2) §2).
