Составители:
Рубрика:
Собственные векторы
f
1
f
2
,
f
3
попарно ортогональны, поэтому образуют базис.
Нормируем собственные векторы:
(2)
В ортонормированном базисе
e
1
,
e
2
,
e
3
матрица линейного преобразования имеет
диагональный вид:
Пример. В ортонормированном базисе
e
1
,
e
2
,
e
3
матрица линейного преобразования
имеет вид:
Найти новый ортонормированный базис
e
1
,
e
2
,
e
3
в котором матрица преоб-
разования будет диагональной.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Корни уравнения λ
1
= -3, λ
2
= λ
3
=6.
Система, определяющая координаты собственных векторов:
В систему подставим λ= 6
Система приводится к равносильному системе уравнению:
x
1
-2х
2
-2х
3
= 0. (4)
Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение плоскости в трехмерном
евклидовом пространстве, проходящей через начало координат (рис.2):
Собственные векторы f 1 f 2, f 3 попарно ортогональны, поэтому образуют базис.
Нормируем собственные векторы:
(2)
В ортонормированном базисе e 1 , e 2 , e 3 матрица линейного преобразования имеет
диагональный вид:
Пример. В ортонормированном базисе e 1 , e 2 , e 3 матрица линейного преобразования
имеет вид:
Найти новый ортонормированный базис e 1 , e 2 , e 3 в котором матрица преоб-
разования будет диагональной.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Корни уравнения λ 1 = -3, λ 2 = λ 3 =6.
Система, определяющая координаты собственных векторов:
В систему подставим λ = 6
Система приводится к равносильному системе уравнению:
x 1 -2х 2 -2х 3 = 0. (4)
Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение плоскости в трехмерном
евклидовом пространстве, проходящей через начало координат (рис.2):
