Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Линейный оператор А, действующий в евклидовом про-
странстве называется симметрическим, если для любых двух векторов
x
,
y
пространства выполняется равенство:
А(х)·у = х·А·(у)
Теорема. Матрица симметричного линейного преобразования в любом
ортонормированием базисе будет симметричной.
где a
12
= a
21
, a
13
= a
31
, a
23
= a
32
.
Теорема. Все корни характеристического урэвнения симметрического линейного
преобразования действительны.
Теорема. Собственные векторы симметрического линейного преобразования,
соответствующие различны м собственным значениям, ортогональны между
собой.
Теорема. Симметрическое линейное преобрззование трехмерного евклидова
пространства имеет три попарно ортогональных собственных вектора.
Следствие. В трехмерном евклидовом пространстве всегда существует
ортонормировзнный базис, в котором матрица симметрического преобразования
диагональная, то есть
где λ
1
, λ
2
, λ
3
- собственные значения преобразования.
Пример. В ортонормированием базисе
e
1
,
e
2
,
e
3
матрица линейного преоб-
разования имеет вид:
Найти новый ортонормированный базис, в котором матрица преобразования будет
диагональной, и найти эту матрицу.
Решение. Так как преобразование симметрическое, данная задача всегда имеет
решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:
Корни уравнения λ
1
=3, λ
2
=6, λ
3
=2.
Составим систему уравнений, определяющую координаты собственных векторов 
     Определение. Линейный оператор А, действующий в евклидовом про-
странстве называется симметрическим, если для любых двух векторов x , y
пространства выполняется равенство:
А(х)·у = х·А·(у)
     Теорема. Матрица симметричного линейного преобразования в любом
 ортонормированием базисе будет симметричной.




где a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32.
      Теорема. Все корни характеристического урэвнения симметрического линейного
 преобразования действительны.
      Теорема. Собственные векторы симметрического линейного преобразования,
соответствующие различны м собственным значениям, ортогональны между
собой.
      Теорема. Симметрическое линейное преобрззование трехмерного евклидова
пространства имеет три попарно ортогональных собственных вектора.
      Следствие. В трехмерном евклидовом пространстве всегда существует
ортонормировзнный базис, в котором матрица симметрического преобразования
диагональная, то есть




где λ1, λ2, λ3 - собственные значения преобразования.
Пример. В ортонормированием базисе e 1 , e 2 , e 3 матрица линейного преоб-
разования имеет вид:




Найти новый ортонормированный базис, в котором матрица преобразования будет
диагональной, и найти эту матрицу.
Решение. Так как преобразование симметрическое, данная задача всегда имеет
решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:




Корни уравнения λ1=3, λ2=6, λ3=2.
Составим систему уравнений, определяющую координаты собственных векторов

Страницы