Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

Теорема. Каждому линейному преобразованию в некотором базисе соответствует
определенная матрица и обратно каждой матрице однозначно отвечает линейное
преобразование.
Пример. Найти матрицу линейного преобразования - проектирования вектора на
плоскость х о у (рис.1)
А(
e
1
)=1 ·
e
1
+ 0 ·
e
2
+ 0 ·
e
3
А(
e
2
)=0 ·
e
1
+ 1 ·
e
2
+ 0 ·
e
3
А(
e
3
)=0 ·
e
1
+ 0 ·
e
2
+ 0 ·
e
3
и искомая матрица имеет:
Определение. Произведением АВ - линейных преобразований А и В на-
зывается линейное преобразование С, которое определяется следующим об-
разом: С (х) = А (В (х)).
Таким образом, умножение линейных преобразований состоит в последовательном
их выполнении.
Матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц
этих преобразований, то есть умножение линейных преобразований не обладает
переместительным законом.
Матрица линейного преобразования зависит от выбора базиса. Пусть
даны два базиса
e
1
,
e
2
,….
e
n
;
e
1
,
e
2
,
e
3
,….
e
n
Теорема. Пусть А - матрица линейного преобразования в первом базисе;
В - матрица линейного преобразования во втором базисе; С - матрица перехода
от первого базиса ко второму, тогда В = С
-1
· А · С.
Пример. В базисе
e
1
,
e
2
преобразование А имеет матрицу
Найти матрицу преобразование в базисе.
e
1
=
e
1
+ 2
e
2
;
e
2
= 2
e
1
+ 3
e
2
.
Решение. Матрица перехода
хода:
§2. Собственные векторы и собственные значения линейного
преобразования
1. Основные понятиями определения
Определение. Вектор
x
≠ 0 называется собственным вектором линейного
преобразования А, если найдется такое число λ, что А(
x
) = λ
x
; это чис-
, матрица, обратная матрице пере-
тогда
      Теорема. Каждому линейному преобразованию в некотором базисе соответствует
определенная матрица и обратно каждой матрице однозначно отвечает линейное
преобразование.
Пример. Найти матрицу линейного преобразования - проектирования вектора на
плоскость х о у (рис.1)
А( e 1)=1 · e 1 + 0 · e 2 + 0 · e 3
А( e 2)=0 · e 1 + 1 · e 2 + 0 · e 3
А( e 3)=0 · e 1 + 0 · e 2 + 0 · e 3
и искомая матрица имеет:




        Определение. Произведением АВ - линейных преобразований А и В на-
зывается линейное преобразование С, которое определяется следующим об-
разом: С (х) = А (В (х)).
Таким образом, умножение линейных преобразований состоит в последовательном
их выполнении.
        Матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц
этих преобразований, то есть умножение линейных преобразований не обладает
переместительным законом.
        Матрица линейного преобразования зависит от выбора базиса. Пусть
даны два базиса
e 1 , e 2 ,…. e n; e 1 , e 2 , e 3 ,…. e n
        Теорема. Пусть А - матрица линейного преобразования в первом базисе;
В - матрица линейного преобразования во втором базисе; С - матрица перехода
от первого базиса ко второму, тогда В = С-1 · А · С.

Пример. В базисе e 1 , e 2 преобразование А имеет матрицу




Найти матрицу преобразование в базисе.
e 1 = e 1 + 2 e 2; e 2 = 2 e 1 + 3 e 2 .

Решение. Матрица перехода                  , матрица, обратная матрице пере-
хода:

                          тогда


        §2. Собственные векторы и собственные значения линейного
                             преобразования
        1. Основные понятиями определения
     Определение. Вектор x ≠ 0 называется собственным вектором линейного
преобразования А, если найдется такое число λ, что А( x ) = λ x ; это чис-

Страницы