Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Преобразование А линейного пространства Z называется
линейным, если для любых векторов
x
и
y
и любого числа α выполнены ра-
венства:
А(х+у) = А(х) + А(у), А(а х) = α А(х).
Пример. Посмотрим обычное геометрическое пространство. Каждому радиусу
вектору
x
поставим в соответствие вектор
x
, который является проекцией
x
на
координатную плоскость xoy (рис. 2)
Рис.2
Данное соответствие является линейным преобразованием, так как проекция
суммы векторов равна сумме проекций, а при умножении вектора на
число его проекция умножается на это число.
Пусть в линейном пространстве задан некоторый базис:
e
1
,
e
2
,….
e
n
Найдем образы данных векторов и разложим их по указанному базису:
А(
e
1
) =
e
1
= a
11
e
1
+ a
21
e
2
+.... + a
n1
e
n
А(
e
2
) =
e
2
= a
12
e
1
+ a
22
e
2
+ .... + a
n2
e
n
……………………………………………
А(
e
n
) =
e
n
= a
1n
e
1
+ a
2n
e
2
+.... + a
nn
e
n
Определение.
Матрица А
называется матрицей линейного преобразования. Определитель, указанной
матрицы может, в частности, быть равным нулю, так как образцы векторов
базиса могут и не образовывать базиса.
Теорема. Если дан вектор
x
= (x
l
, x
2
,... х
n
), то координаты вектора
х = (xi ,Х2 ,....х„), вычисляются по формулам:
x
1
= a
11
x
1
+ а
21
х
2
+ .... + а
1n
х
n
x
2
= a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ … + а
1n
х
n
……………………………………………….
x
n
= а
21
x
1
+ a
22
x
2
+ .... + а
2n
х
n
то есть координаты образа являются линейными однородными функциями
переменных x
1
, x
2
,...x
n
.
Z 
      Определение. Преобразование А линейного пространства Z называется
линейным, если для любых векторов x и y и любого числа α выполнены ра-
венства:
А(х+у) = А(х) + А(у), А(а х) = α А(х).
Пример. Посмотрим обычное геометрическое пространство. Каждому радиусу
вектору x поставим в соответствие вектор x , который является проекцией x на
координатную плоскость xoy (рис. 2)
Рис.2
            Z




      Данное соответствие является линейным преобразованием, так как проекция
суммы векторов равна сумме проекций, а при умножении вектора на
число его проекция умножается на это число.
      Пусть в линейном пространстве задан некоторый базис: e 1 , e 2 ,…. e n
Найдем образы данных векторов и разложим их по указанному базису:
А( e 1) = e 1 = a11 e 1 + a21 e 2 +.... + an1 e n
А( e 2) = e 2 = a12 e 1 + a22 e 2 + .... + an2 e n
……………………………………………

А( e n) = e n = a1n e 1 + a2n e 2 +.... + ann e n

      Определение.
                                   Матрица А




называется матрицей линейного преобразования. Определитель, указанной
матрицы может, в частности, быть равным нулю, так как образцы векторов
базиса могут и не образовывать базиса.
Теорема. Если дан вектор x = (x l, x2,... хn), то координаты вектора
х = (xi ,Х2 ,....х„), вычисляются по формулам:
x1 = a11x1 + а21х2 + .... + а1n хn
x2 = a21x1 + a22x2 + … + а1n хn
……………………………………………….
xn = а21x1 + a22x2 + .... + а2n хn
то есть координаты образа являются линейными однородными функциями
переменных x1, x2,...xn.

Страницы