Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Векторы
x
и
y
называются ортогональными, если угол между
ними равен ¶/2, т.е.
x
•
y
= 0.
7.3. Ортогональный базис в евклидовом пространстве.
Скалярное произведение в координатах
Определение. Базис
e
1
,
e
2
,….
e
n
евклидова пространства называется ор
тогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, если кроме того, все
векторы базиса имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным.
Теорема. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова
пространства является линейно независимой.
Теорема. В евклидовом, пространстве существует ортонормированный базис.
Теорема. Скалярное произведение векторов, заданных координатами от
носительно некоторого ортонормированного базиса
x
=(х
1
, x
2
,... х
n
);
y
=( y
1
, y
2
,... y
n
) вычисляется по формуле:
x
•
y
= х
1
• y
1
+ х
2
• у
2
+... +x
n
• у
n
Следствие. Длина вектора х = (х
1
, x
2
,... x
n
) вычисляется по формуле:
Пример. Найти угол между векторами:
x
= (1 ;-1 ;1 ;1);
y
= (-] ;-1 ;0;1) (базис ортонормированный).
Решение.
x
•
y
= 1·(-1)+(-1)·(-1)+1·0+1·1 = 1.
7.4. Построение системы ортогональных векторов с помощью процесса
ортогонализацни
Пусть дана система
f
1
,
f
2
, …
f
m
линейно независимых векторов, которая
не ортогональна. Тpe6yeтcя из данной системы построить систему ортогональных
векторов
g
1
,
g
2
, …
g
m
. Построение осуществляется по следующему алгоритму
(который называется процессом ортогонализации).
1. Положим
g
1
=
f
1
.
2. Вектор
g
2
ищем в виде:
Число α
1
выбирают из условия: g
1
· g
2
= 0, следовательно,
3. Вектор
g
3
ищем в виде:
(
7.1
)
    Определение. Векторы x и y называются ортогональными, если угол между
ними равен ¶/2, т.е. x • y = 0.

          7.3. Ортогональный базис в евклидовом пространстве.
                 Скалярное произведение в координатах

     Определение. Базис e 1 , e 2 ,…. e n евклидова пространства называется ор
тогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, если кроме того, все
векторы базиса имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным.
     Теорема. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова
пространства является линейно независимой.
     Теорема. В евклидовом, пространстве существует ортонормированный базис.
     Теорема. Скалярное произведение векторов, заданных координатами от
носительно некоторого ортонормированного базиса
x =(х1, x2,... хn); y =( y 1, y2,... yn) вычисляется по формуле:
x • y = х1 • y 1 + х2 • у2+... +xn• уn
     Следствие. Длина вектора х = (х1, x2,... xn) вычисляется по формуле:


       Пример. Найти угол между векторами:
x = (1 ;-1 ;1 ;1); y = (-] ;-1 ;0;1) (базис ортонормированный).
     Решение. x • y = 1·(-1)+(-1)·(-1)+1·0+1·1 = 1.




7.4. Построение системы ортогональных векторов с помощью процесса
                          ортогонализацни
      Пусть дана система f 1, f 2, … f m линейно независимых векторов, которая
не ортогональна. Тpe6yeтcя из данной системы построить систему ортогональных
векторов g 1, g 2, … g m. Построение осуществляется по следующему алгоритму
(который называется процессом ортогонализации).
1. Положим g 1= f 1.
2. Вектор g 2 ищем в виде:



Число α1 выбирают из условия: g1· g2= 0, следовательно,                 (7.1)

3. Вектор g 3 ищем в виде:

Страницы