Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 24 стр.

     Теорема. Размерность подпространства решений однородной системы
линейных уравнений равна n-r, если n - число неизвестных, r - ранг матрицы
системы.
     Определение. Базис подпространства решений однородной системы на-
зывается фундаментальной системой решений. Базис подпространства
решений можно построить по следующему алгоритму:
     1. Приводим систему к равносильной методом Гаусса:




где r - ранг матрицы системы (r < n).
      2. Выразим неизвестные x1, x2,.... хr через свободные неизвестные
xr+2,…xn (свободных неизвестных n-ч).

                                    (6.2)



     3. Будем придавать свободным неизвестным значения, которые являются
строками единичной матрицы порядка n-r:




и вычисляя x1, x2,.... хr по формулам (6.2) получим n-r решений однородной
системы:
а 1 = (d11, d21...dr1, 1,0,0…0)
а 2 = (d12, d22...dr2, 0,l,0...0)
………………………………..
an-r = (d1,n-r, d2,n-r…d2,n-r, 0,0…1)
       Построенные n-r решений однородной системы образуют базис линейного
 подпространства решений.
       Пример. Дана однородная система:
    ⎧ x1 + 2 x2 − 5 x3 − 3 x4 = 0
    ⎪
    ⎨2 x1 + 5 x2 − 6 x3 − x4 = 0
    ⎪5 x + 12 x − 17 x + x = 0
    ⎩ 1         2      3   4

Найти базис подпространства решений и выразить любое решение через базис.
    Применяя метод Гаусса, находим общее решение