Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при
умножении векторов на число все его координаты умножаются на это число.
Теорема. В пространстве Rn любые n-линейно независимы от векторов,
образуют базис.
Теорема. n - векторов пространства Rn
x
1
=(x
11
, x
12
, …x
1n
),
x
2
=(x
21
, x
22
, …x
2n
)....
x
n
=(x
n1
…x
nn
) линейно независимы, то
есть образуют базис тогда и только тогда, когда
Пример. Доказать, что векторы
x
1
={1;-1;2;2),
x
2
=(1;-2;3;2),
x
3
= (4;-1;5;15),
x
4
=(6;-
8;7;9) образуют базис в линейном пространстве R
4
. Разложить вектор
x
= (-4; 15;-5;
12) по базису.
Решение.
следовательно, данные векторы линейно независимы и образуют базис. Разложим
x
по базису:
(-4;15;-5;12) = α
1
(1;-1;2;2) + α
2
(1; -2;3;2) + α
3
(4 ;-1;5;15)+ α
4
(6;-8;7;9).
Векторное равенство равносильно системе:
Система имеет единственное решение α
1
= 1; α
2
= -1; α
3
= 2; α
4
= -2. Таким образом,
x
=
x
1
-
x
2
+ 2
x
3
-
x
4
.
§ 5. Преобразование координат при изменении базиса
Пусть в n- мерном линейном пространстве даны два базиса e
1
, e
2
,…e
n
и
e
1
, e
2
,…e
n
.
Первый базис назовем старым, а второй - новым. Каждый элемент нового
базиса можно разложить по старому базису 
      При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при
умножении векторов на число все его координаты умножаются на это число.
      Теорема. В пространстве Rn любые n-линейно независимы от векторов,
образуют базис.
       Теорема. n - векторов пространства Rn
x 1 =(x11, x12, …x1n), x 2 =(x21, x22, …x2n).... x n =(xn1…xnn) линейно независимы, то
есть образуют базис тогда и только тогда, когда




Пример. Доказать, что векторы x 1={1;-1;2;2), x 2=(1;-2;3;2), x 3 = (4;-1;5;15), x 4=(6;-
8;7;9) образуют базис в линейном пространстве R4. Разложить вектор x = (-4; 15;-5;
12) по базису.
Решение.




следовательно, данные векторы линейно независимы и образуют базис. Разложим
 x по базису:
(-4;15;-5;12) = α1(1;-1;2;2) + α2 (1; -2;3;2) + α3 (4 ;-1;5;15)+ α4 (6;-8;7;9).
Векторное равенство равносильно системе:




Система имеет единственное решение α1= 1; α2= -1; α3 = 2; α4 = -2. Таким образом,
x = x1- x2 + 2 x3 - x4 .

      § 5. Преобразование координат при изменении базиса
       Пусть в n- мерном линейном пространстве даны два базиса e1, e2,…en и
e1, e2,…en.
       Первый базис назовем старым, а второй - новым. Каждый элемент нового
базиса можно разложить по старому базису

Страницы