Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 21 стр.

2) любой вектор всей системы является линейной комбинацией векторов
указанной подсистемы.
     Из координат векторов составим матрицу:




      Определение. Неравный нулю минор матрицы, порядок которого равен рангу
матрицы, называется базисным минором.
      Теорема. Строки матрицы, пересекающие матрицу базисного минора,
образуют базис данной системы строк (векторов).
Пример. Найти любой базис системы векторов:
x 1=(1;2;3;4;1), x 2=(2;-1;1;2;3), x 3=(3;1;4;6;4). Разложить x 3 по этому базису.

Решение. Найдем ранг матрицы




                                                          1   2
Следовательно, ранг данной матрицы равен 2. Минор 2 − 1              не равен 0, сле-
довательно, он будет базисным и строки пересекающие матрицу данного минора
 x 1=(1;2;3;4;1), x 2=(2;-1;1;2;3) образуют базис данной системы векторов. Найдем
разложение x3 по базису (3;1;4;6;4) = α 1 (1;2;3;4;1) + α 2 (2;-1;1;2;3). Откуда следует
α 1 = 1; α 2 = 1. Следует заметить, что базис также образуют пары векторов ( а 2, а 3),
( а 1, а 3).

              §4. Размерность и базис линейного пространства
     Определение. Базисом линейного пространства называется любая упо-
рядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:
а)   она линейно независима;
б)      каждый вектор линейного пространства является линейной комбинацией
векторов этой системы.
       Определение. Линейное пространство, в котором базис состоит из п векторов,
называется n-мерным.
       Пусть e 1, e 2, ..... e n базис линейного пространства, тогда для любого вектора
х пространства справедливо равенство: x = x 1e1 + x 2e2 + …+ x nen), причем числа x1,
x2,....хn - определяются однозначно и называются координатами вектора, при этом
пишут x 1 =( x 1, x 2, … x n).